Pe velodrom

Doi ciclişti rulează cu viteză constantă pe pista circulară a unui velodrom. Când pornesc din acelaşi punct în sensuri contrare, ei se întâlnesc faţă în faţă la fiecare 10 secunde, iar când pleacă din acelaşi punct în acelaşi sens, unul îl ajunge din urmă pe celălalt la fiecare 170 secunde.
Care este viteza fiecărui ciclist, dacă lungimea pistei este de 170 m?

Citește mai mult:Pe velodrom

Câinele fermierului

Un fermier, care se îndrepta spre casă mergând cu 5 km/h, a fost simţit de câinele său pe când se afla la 3 km depărtare de fermă. În acel moment, câinele a pornit în goană să-şi întâmpine stăpânul, alergând de două ori mai repede decât mergea el. Ajungând în dreptul lui, câinele s-a întors alergând înapoi spre casă, de unde a pornit din nou spre stăpân şi tot aşa până când a sosit la fermă împreună cu stăpânul.
Ce distanţă a parcurs câinele în tot acest timp?

Soluţie:

Cât timp a alergat câinele? Evident, tot atâta cât i-a luat stăpânului său să parcurgă cei 3 km rămaşi până la fermă. Din relaţia
v cdot t=d doubleleftright 5 cdot t=3
obţinem pentru acest interval de timp valoarea
t=3/5h.
În acest interval de timp, câinele parcurge o distanţă egală cu
d_c=v_c cdot t=10 cdot 3/5=2 cdot 3=6 km.

Bărci cu motor de închiriat

Pe un lac de agrement din Elveţia, de la două debarcadere situate faţă în faţă pe maluri opuse pornesc în acelaşi timp două bărci cu motor — una cu echipaj austriac de la debarcaderul 1 spre debarcaderul 2, iar cealaltă cu echipaj rusesc de la debarcaderul 2 spre debarcaderul 1. Vitezele celor două bărci sunt constante dar diferite şi ruşii îi întâlnesc pe austrieci în această primă călătorie la distanţa de 800 m de debarcaderul 1. Ajunse la destinaţie, bărcile se opresc iar echipajele iau o pauză de un sfert de oră pentru a face fotografii. Apoi, bărcile se întorc şi ruşii se întâlnesc cu austriecii pentru a doua oară, de această dată la distanţa de 500 m de debarcaderul 2.
Puteţi spune care este lăţimea lacului între cele două debarcadere?

Citește mai mult:Bărci cu motor de închiriat

Cu trenul la schi

Un tren ce transporta turişti într-o staţiune alpină situată la 3000 m altitudine urca din vale până în vârf cu o viteză medie de 40 km/h şi făcea acelaşi  drum la coborâre cu o viteză medie de 60 km/h.
Un tânăr schior, observând această diferenţă, îi spune prietenului său:
— Dacă trenul are la dus o viteză medie de 40 km/h iar la întoarcere de 60 km/h, înseamnă că viteza medie a trenului pe întregul parcurs dus-întors este de 50 km/h.
— Greşeşti, îl corectează prietenul. Viteza medie pe traseul dus-întors nu este egală cu media aritmetică a vitezelor medii la dus şi la întoarcere. Ea este cu ceva mai mică decât media lor aritmetică.
Puteţi preciza, mai exact, cu cât este egală viteza medie a trenului pe întregul parcurs şi cum se determină ea?

Soluţie:

Iată cum se calculează viteza medie a trenului pe întregul traseu dus-întors.
Să notăm această viteză cu v, distanţa din vale până în staţiunea montană cu d şi să presupunem că această distanţă este parcursă la dus cu o viteză medie v_1 în timpul t_1, iar la întoarcere cu o viteză medie v_2 în timpul t_2.
Atunci:
(1) v={2d}/{t_1+t_2},
iar
(2) t_1=d/{v_1}
şi
(3) t_2=d/{v_2}.
Din (1), (2) şi (3) obţinem:
v={2d}/{d/{v_1}+d/{v_2}}={2d}/{{d(v_1+v_2)}/{v_1v_2}}=2d cdot {v_1v_2}/{d(v_1+v_2)}={2v_1v_2}/{v_1+v_2}.
Adică
v={2v_1v_2}/{v_1+v_2}
sau, viteza medie a trenului pe traseul dus-întors este egală cu media armonică a vitezelor medii la dus şi la întoarcere.
Înlocuind v_1 cu 40 km/h şi v_2 cu 60 km/h în relaţia găsită, obţinem o viteză medie egală cu
v={2 cdot 40 cdot 60}/{40+60}={2 cdot 40 cdot 60}/100=2 cdot 4 cdot 6=48 km/h.

În Franţa, pe autostradă

Cu ocazia campionatului european de fotbal, pe două din benzile unei autostrăzi din Franţa, două coloane de autocare cu turişti se îndreaptă una spre cealaltă. Autocarele aparţin aceleiaşi firme şi sunt identice, circulă cu aceeaşi viteză constantă şi păstrează între ele aceeaşi distanţă. Între cele două benzi, pe o pistă pentru biciclişti, un biciclist înaintează şi el cu viteză constantă. La un moment dat, el ajunge pe aceeaşi linie cu autocarele din capul celor două coloane şi începe să numere atât autocarele care îi vin din faţă, cât şi pe cele care îl depăşesc, inclusiv pe cele din capul coloanelor. A observat că în momentul când a trecut pe lângă el al zecelea autocar ce venea din faţă, l-a ajuns din urmă al şaselea autocar din coloana care circula în aceeaşi direcţie cu el.
Acest lucru i-a permis biciclistului să afle de câte ori era mai mare viteza autocarelor decât a sa. Puteţi preciza ce valoare a determinat biciclistul şi cum a ajuns la ea?

Citește mai mult:În Franţa, pe autostradă

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: