Logicus - Antrenamentul conexiunilor rapide

Dan şi Dumitru se întrec alergând în sus şi în jos pe o colină a cărei pantă măsoară 440 de metri în lungime. Dan ajunge primul în vârf şi coboară imediat, întâlnindu-l pe Dumitru la 20 de metri distanţă de vârf şi sosind la baza colinei cu o jumătate de minut mai devreme decât el. Problema se complică, întrucât la coborâre viteza ambilor alergători este o dată şi jumătate mai mare decât la urcare.
Cât timp i-a luat lui Dan să parcurgă cei 880 de metri în sus şi în jos pe colină?

Soluţie:

Fie timpul în care Dan urcă, respectiv coboară panta, şi timpul în care Dumitru urcă, respectiv coboară panta.
Raportul timpilor în care cei doi alergători urcă panta este egal cu inversul raportului vitezelor lor la urcare; de asemenea, raportul timpilor în care cei doi alergători coboară panta este egal cu inversul raportului vitezelor lor la coborâre; iar raportul vitezelor celor doi la urcare este egal cu raportul vitezelor lor la coborâre. Cu alte cuvinte,
(*)
(unde şi sunt vitezele lui Dan, respectiv Dumitru la urcare).
Pe de altă parte, raportul vitezelor lui Dan şi Dumitru, pentru acelaşi interval de timp, este egal cu raportul spaţiilor parcurse de cei doi în acest interval de timp. De exemplu, până în momentul întâlnirii, Dumitru parcursese
de metri,
iar Dan ar parcurge dacă s-ar deplasa în tot acest timp cu aceeaşi viteză ca la urcare
de metri.
Aşadar, raportul vitezelor lui Dan şi Dumitru la urcare este egal cu
.
Revenind la relaţia (*), obţinem
.
Dar

şi, cum Dan a încheiat cursa cu o jumătate de minut mai devreme decât Dumitru, putem scrie
.
Dacă notăm cu T timpul în care Dan a încheiat cursa, obţinem mai departe




sau T=6,3 minute.
Prin urmare, Dan a terminat cursa în 6 minute şi 18 secunde.

• Prec
• Mai departe