Meri Starkinson

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Publicat: 06 Noiembrie 2019 06 Noiembrie 2019; Accesări: 2018 2018

Suma dintre aria și perimetrul unei suprafețe de forma unui triunghi dreptunghic, aferentă unei livezi de meri din soiul bot-de-iepure, este egală cu 280. Dacă lungimile laturilor triunghiului, exprimate în decametri, sunt numere întregi, aflați aria și lungimile laturilor terenului.

Soluție:

un triunghi dreptunghic în care este înscris un cerc de rază r cu cateta orizontală egală cu raza r plus x iar cateta verticală egală cu r plus y și x mai mare decât y

Să notăm cu S, p și r respectiv aria, semiperimetrul și raza cercului înscris în triunghi.
Întrucât S=rp (dacă descompunem triunghiul în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului), relația din enunț se poate transcrie astfel:
S+2p=rp+2p=p(r+2)=280.
Însă, după cum se observă din desen,
p={a+b+c}/2 ={(r+x)+(r+y)+(x+y)}/2 ={2r+2x+2y}/2 =r+x+y.
Așadar, relația din enunț devine:
(*) (r+x+y)(r+2)=280.
Evident, triunghiul nu poate fi isoscel, căci dacă a este cateta, atunci ipotenuza este
a sqrt{2}
și deci nu mai poate fi un număr întreg.
Așadar, x și y nu pot fi egale, dar suma lor x+y (egală cu ipotenuza) este un număr întreg.
Atunci, conform relației (*), r nu poate fi un număr rațional neîntreg, pentru că în caz contrar nici expresia (r+x+y)(r+2) nu mai poate fi un număr întreg.
Așadar, dacă r este un număr întreg, întrucât r+x și r+y sunt întregi (catetele), rezultă că și x și y sunt întregi. Și întrucât x și y nu sunt egale, x+y este mai mare decât 2. În consecință r+x+y este mai mare decât r+2 și deci r+x+y este mai mare decât 16, pentru că, în caz contrar,
(r+x+y)(r+2) <= 256 =! 280
Să mai observăm că
280=2^3 cdot 5 cdot 7
astfel încât r+x+y poate fi 20, 28, 35, 40, 56 sau 70.
Să analizăm pe rând fiecare caz.
1) Dacă r+x+y=20 și r+2=14, atunci r=12 și x+y=8.
Atunci, presupunând că x>y, (x,y) poate fi una din perechile (7,1), (6,2), (5,3).
În primul caz (x=7, y=1), catetele ar fi de 19, respectiv 13 iar ipotenuza (conform teoremei lui pitagora),
$sqrt {{19}^2 +{13}^2 }=sqrt {530} =! 8=7+1$
și nu este un număr rațional.
În mod asemănător, se exclud și celelalte cazuri.
2) Dacă r+x+y=28 și r+2=10, atunci r=8 și x+y=20.
Atunci, (x,y) poate fi una din perechile (19,1), (18,2), (17,3), ... (11,9).
Ca și în cazul 1, nicio pereche nu este acceptabilă.
3) Dacă r+x+y=35 și r+2=8, atunci r=6 și x+y=29.
Atunci, (x,y) poate fi una din perechile (28,1), (27,2), (26,3), ... (15,14).
Ultima pereche este acceptabilă, întrucât dacă valorile catetelor sunt 21, respectiv 20, valoarea ipotenuzei este de
$sqrt {{21}^2 +{20}^2 }=sqrt {841} =29=15+14$
4) Dacă r+x+y=40 și r+2=7, atunci r=5 și x+y=35.
Atunci, (x,y) poate fi una din perechile (34,1), (33,2), (32,3), ... (18,17).
Ca și în cazul 1, nicio pereche nu este acceptabilă.
5) Dacă r+x+y=56 și r+2=5, atunci r=3 și x+y=53.
Atunci, (x,y) poate fi una din perechile (52,1), (51,2), (50,3), ... (27,26).
Ca și în cazul 1, nicio pereche nu este acceptabilă.
6) Dacă r+x+y=70 și r+2=4, atunci r=2 și x+y=68.
Atunci, (x,y) poate fi una din perechile (67,1), (66,2), (65,3), ... (35,33).
Ca și în cazul 1, nicio pereche nu este acceptabilă.
Așadar, soluția problemei este triunghiul dreptunghic cu catetele de 20 dam, respectiv 21 dam, ipotenuza de 29 dam, raza cercului înscris în triunghi de 6 dam și aria de
$S={20 cdot 21}/2 =210~{dam}^2$