Divizori și pătrate perfecte

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Publicat: 19 Ianuarie 2017 19 Ianuarie 2017; Accesări: 2957 2957

Arătați că oricare ar fi 9 divizori ai lui 2016, există printre ei cel puțin doi al căror produs să fie un pătrat perfect.

Soluție:

Întrucât
2016=2^5 cdot 3^2 cdot 7
orice divizor al lui 2016 este de forma
2^p cdot 3^q cdot 7^r, ~ p in lbrace 0,1,2,3,4,5 rbrace, ~ q in lbrace 0,1,2 rbrace, ~ r in lbrace 0,1 rbrace .
În mod evident, mulțimea tuturor divizorilor lui 2016 are atunci
6*3*2=36
divizori.
Alegând în mod arbitrar 9 divizori ai lui 2016, dintre aceștia, cel puțin 5 au exponenții lui 2 de aceeași paritate (fie sunt toți impari, fie sunt toți pari.)
Extragem din mulțimea celor 9 divizori mulțimea divizorilor care au exponenții lui 2 de aceeași paritate, mulțime care are cel puțin 5 elemente.
Dintre aceștia, cel puțin 3 divizori au exponenții lui 3 de aceeași paritate (fie toți impari, fie toți pari.) Extragem din ultima mulțime selectată submulțimea divizorilor lui 2016 care au exponenții lui 2, respectiv 3, de aceeași paritate.
Dintre aceștia, cel puțin 2 au exponenții lui 7 de aceeași paritate (fie toți impari, fie toți pari.)
Prin urmare, printre cei 9 divizori ai lui 2016 există cel puțin 2 pentru care exponenții lui 2,3, respectiv 7, au aceeași paritate și, prin urmare, al căror produs este un pătrat perfect.