Logicus - Antrenamentul conexiunilor rapide

Sticlele de Lici-Cola, de grosime uniformă de la gât în jos și cu secțiune orizontală circulară, sunt livrate în navete hexagonale de diverse mărimi. De exemplu, în naveta din figura de mai jos pot fi așezate 30 de sticle de Lici-Cola de-a lungul circumferinței navetei. Câte sticle de Lici-Cola vor putea fi livrate în total cu această navetă? Dați un procedeu general de calcul și o generalizare a problemei.

Soluție:

Să observăm că un „hexagon regulat” impropriu, cu latura egală cu 1, este format dintr-o singură sticlă de Lici-Cola. Pentru a obține un hexagon regulat din sticle de Lici-Cola cu latura egală cu 2, trebuie suplimentată fiecare latură cu încă o sticlă, adică în total cu 6 sticle. O astfel de navetă va conține, evident, 1+6=7 sticle.
Pentru a obține un hexagon regulat din sticle de Lici-Cola cu latura egală cu 3, fiecare latură trebuie suplimentată cu încă o sticlă, adică în total cu 6 sticle. Această navetă va conține 1+6+12=19 sticle.
Pentru o navetă hexagonală cu latura de 4 sticle, conținutul va fi de 1+6+12+18=37 de sticle; pentru una cu latura de 5 sticle, de 1+6+12+18+24=61, iar pentru una cu latura de 6 sticle, de 1+6+12+18+24+30=91 de sticle.
Fiecare din aceste hexagoane se obține din cel precedent prin „împrejmuirea” lui cu un număr de sticle mai mare cu 6 decât perimetrul precedentului, adică cu multiplul lui 6 imediat următor.
În general, pentru o navetă hexagonală cu latura de n sticle, numărul sticlelor distribuite de-a lungul marginilor ei este de

(câte n-2 pe fiecare latură și 6 în vârfuri)
iar capacitatea navetei (în sticle) este de

• Prec
• Mai departe