Desenul de mai jos prezintă numerele de la 1 la 10, așezate în ordine și în sens orar, la capetele a 5 diametre ale unui cerc. Dintre acestea, numai pentru două numere alăturate suma este egală cu suma numerelor diametral opuse:
1+10=6+5.
Pentru toate celelalte perechi de numere alăturate, aceste sume sunt diferite. De exemplu,
1+2 != 6+7
sau
2+3 != 7+8.
Rearanjați numerele astfel încât, pentru oricare pereche de numere alăturate, suma lor să fie egală cu suma numerelor diametral opuse. Există mai multe soluții.
a) Câte soluții de bază există?
b) Câte soluții diferite (care să nu rezulte unele din rotația celorlalte) există în total?

un cerc în care sunt duse 5 diametre ale căror capete sunt numerotate de la 1 la 10 în sens orar

Soluție:

Fie A și a numerele de la capetele unui diametru oarecare iar B, respectiv b, numerele corespunzătoare de la capetele unui diametru alăturat. Atunci,
A+B=a+b doubleleftright
A-a=b-B.
Rezultă astfel că diferența (în valoare absolută) a numerelor de la cele două capete ale oricăruia din cele 5 diametre trebuie să fie aceeași.
Cu alte cuvinte, numerele de la 1 la 10 trebuie grupate în 5 perechi, fiecare cu aceeași diferență.
Există doar două moduri de a face acest lucru, după cum diferența este 1 sau 5:
tabular{000000}{000}{{1-2} {1-6} {4-3} {7-2} {5-6} {3-8} {8-7} {9-4} {9-10} {5-10}}
Soluțiile corespunzătoare sunt prezentate în figura de mai jos.

prima soluție de bază corespunzătoare diferenței 1
a doua soluție de bază corespunzătoare diferenței 5
Alte soluții se pot obține din aceste două soluții de bază, mutând perechile de numere de la capetele diametrelor.
Astfel, fixându-l pe 1 în poziția în care se află, pentru a elimina soluțiile obținute prin rotații, și pe 2 (pentru prima soluție de bază), respectiv 6 (pentru a doua), la capătul diametral opus, pentru diametrul imediat următor în sens orar există 4 moduri de a alege perechea de numere diametral opuse de la capete; pentru al treilea diametru, cu capetele celui de-al doilea diametru odată fixate, există 3 moduri de alegere a perechii de numere de la capete; pentru al patrulea diametru, există 2 moduri iar pentru al cincilea, un singur mod.
Rezultă astfel
4*3*2*1=24
de soluții (inclusiv cea de bază), corespunzătoare diferenței 1.
Analog, pentru diferența 5, rezultă alte 24 de soluții (inclusiv cea de bază).
Există astfel în total 48 de soluții diferite, dintre care 2 sunt de bază.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: