Tipărire

Drumul prin junglă l-a istovit pe sirdarul Nima Tondup, șeful șerpașilor și al doilea conducător al expediției care atacă acum vârful Kanchenjunga. Și de-ar fi numai umezeala înăbușitoare, terenul mocirlos, tufișurile agățătoare ori agasantele lipitori subțiri ca firul de ață care le pătrund prin cusătura hainelor și prin găurile șireturilor de la bocanci! Dar nu! Mai trebuia să îndure și veșnicele bombăneli și nesfârșitele altercații dintre expediționari.
Așa că atunci când vegetația începu să se rărească lăsând lumina să pătrundă printre crengi, sirdarul răsuflă ușurat. În fața lor se deschidea acum pășunea de basm de la baza traseului alpin. Aici, șerpașii începură să descarce poverile și să ridice tabăra principală. Pe o foaie mare de cort triunghiulară așezară apoi merindele și începură să mănânce.
Și pentru că discuțiile dintre expediționari amenințau să degenereze din nou, sirdarul se grăbi să le propună un exercițiu practic cu un premiu frumușel pentru primul rezolvitor, sperând să-i țină astfel cât mai mult timp ocupați și să le abată atenția de la rivalități.
Arătând spre foaia de cort de forma unui triunghi echilateral, le spuse că tot ce aveau de făcut era să taie foaia în 4 bucăți care, prin reasamblare, să formeze un pătrat.
Ce-i drept, sirdarul nu cunoștea răspunsul ori chiar dacă problema avea vreun răspuns ori ba, așa că atunci când oamenii îi prezentară o posibilă împărțire a triunghiului în 5 bucăți care să recompună un pătrat, sirdarul se arătă foarte nedumerit și încurcat. În cele din urmă, trebui să recunoască nu doar că nu știa cum s-ar putea împărți triunghiul în 4 părți, dar nici în 3 sau mai puțin, ce să mai vorbim de 5!
În urma acestei recunoașteri, Nima Tondup trecu razant pe lângă o chelfăneală zdravănă din partea expediționarilor frustrați că își pierduseră vremea de pomană cu o problemă care nu avea răspuns.
Realitatea este însă că, pentru 4, problema are soluție și încă una foarte frumoasă, chiar dacă nu tocmai ușoară.
Puteți spune cum trebuie tăiat triunghiul? Justificați răspunsul dat!

Soluție:

triunghiul cu cele 4 regiuni

Să notăm cu ABC triunghiul echilateral. Punctele și liniile de secțiune se vor obține după cum urmează.
Fie D și E mijloacele laturilor BA, respectiv BC.
Pe dreapta AE se ia punctul F (cu E între A și F) astfel încât EF=BE iar G mijlocul segmentului AF (vezi figura de mai sus.)
Cu centrul în G și de rază AG se construiește un semicerc, pe care EB îl taie în H. EH va fi lungimea laturii pătratului pe care vrem să-l construim.
Cu centrul în E și de rază EH se construiește un al doilea semicerc care taie pe AC în J. Între J și C, pe JC,  se ia punctul K astfel încât JK=BE.
Pe dreapta JE se duc acum perpendicularele din D și K în L, respectiv M.
Am obținut astfel cele 4 regiuni în care se descompune triunghiul echilateral pentru a forma pătratul de latură EH, și anume:
1) patrulaterul BDLE; 2) patrulaterul DLJA; 3) triunghiul KMJ; 4) patrulaterul KMEC.
Patrulaterul MM'L''L' obținut (care are toate unghiurile drepte) este un dreptunghi.
Mai trebuie dovedit că MM'=ML' pentru a fi pătrat.
Evident, MM'=2KM iar ML'=ME+LE.
Triunghiurile DJE și KEJ fiind congruente (cazul I), rezultă următoarele:
1. DL=KM (înălțimi corespunzătoare laturilor analoage);
2. DJKE este paralelogram;
3. JL=EM (din congruența triunghiurilor dreptunghice DLJ și KME.)
În consecință,
ML'=ME+LE=LJ+LE=JE=EH.
Demonstrația faptului că MM'L''L' este pătrat revine astfel la a arăta că
EH=2KM.
Dacă notăm cu a lungimea laturii triunghiului ABC, atunci BE=EF=a/2 și din triunghiul dreptunghic AHF putem afla lungimea înălțimii HE:
 EH=sqrt{AE cdot EF}=sqrt{{a sqrt{3}}/2 cdot a/2}=a/2 root{4}{3}
Dacă h și S sunt înălțimea respectiv aria triunghiului ABC, atunci
 S_{BDE} ={a/2 cdot h/2}/2={ah}/8 =S/4
iar aria trapezului DACE este 3/4 S, ariile triunghiurilor congruente DJE și KEJ fiind egale.
Și cum suma ariilor triunghiurilor DAJ și ECK este
 S_{DAJ} +S_{ECK} ={h/2 (AJ+CK)}/2 ={h/2 cdot a/2 }/2={ha}/8=S/4
rezultă că aria triunghiului EKJ este egală cu
 S_{EKJ} =1/2 [S_{DACE} -(S_{DAJ} +S_{ECK})]=1/2 (3/4 S - 1/4 S )=1/4 S
Dar aria triunghiului EKJ este totodată
 S_{EKJ} ={KM cdot JE}/2 ={KM cdot EH}/2
de unde rezultă
 S/4 ={KM cdot a/2 root{4}{3}}/2 doubleleftright
 {a^2 sqrt{3}}/{16} = a/4 (KM cdot root{4}{3}) delim{|}{:}{} a/4 root{4}{3} doubleleftright
 {a root{4}{3}}/4 =KM doubleleftright
 KM={EH}/2
sau, echivalent,
EH=2KM.
Q.E.D.!