Baza hipică

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 02 Mai 2017 02 Mai 2017; Accesări: 2366 2366

Proprietarul bazei hipice Ecvestria a amenajat un manej pe terenul de formă pătrată de latură a notat cu 1 pe figura de mai jos, un traseu cu obstacole pe terenul de formă pătrată de latură a notat cu 2 și un padoc pe terenul de forma unui triunghi echilateral de latură a notat cu 3.
Terenurile 4 și 5 de forma unor triunghiuri dreptunghice isoscele de latură a au fost semănate cu lucernă iar pe terenurile triunghiulare 6 și 7 care se obțin unind vârfurile triunghiurilor 4 și 5 cu vârfurile stânga jos, respectiv stânga sus ale pătratului 2, au fost plantați morcovi. Grajdurile se găsesc în zonele 8 și 9 de formă triunghiulară, obținute prin unirea vârfurilor triunghiurilor 5 și 3, respectiv 4 și 3.
Care este suprafața întregii baze sportive (calculată în funcție de a)?

(propusă de prof. Cornelia Moarcaș)

Soluție:

Evident, pătratele 1 și 2 au suprafața egală cu
a^2
iar triunghiurile dreptunghice isoscele 4 și 5 au suprafața egală cu jumătate din aria pătratului 1.
Deci, 1, 2, 4 și 5 au împreună aria de
$a^2 +a^2 +{a^2}/2 +{a^2}/2=3a^2$
Triunghiurile 6 și 7 sunt echivalente cu triunghiurile 4 și 5 (adică au aceeași arie ca și acestea), având câte două laturi egale și unghiurile dintre ele suplementare.
Așadar, 1, 2, 4, 5, 6 și 7 au împreună aria de
$(1)~ 3a^2 +{a^2}/2 +{a^2}/2=3a^2 +a^2 =4a^2$
Triunghiul echilateral 3 de latură a are suprafața de
${a^2 sqrt{3}}/4$
iar triunghiul 8 care este echivalent cu triunghiul 3 are aceeași suprafață ca și acesta.
Așadar, 3 și 8 au împreună
$(2)~ 2 cdot {a^2 sqrt{3}}/4 = {a^2 sqrt{3}}/2$
Aria triunghiului 9 este egală cu diferența dintre suprafața patrulaterului ABCD (vezi desenul de mai jos) și aria triunghiului CDA.

Aria patrulaterului ABCD este compusă din aria triunghiului ABD congruent cu triunghiul 8 și aria triunghiului BCD congruent cu triunghiul 4. Prin urmare, aria patrulaterului ABCD este egală cu
${a^2 sqrt{3}}/4 +{a^2}/2 ={a^2 (2+ sqrt{3})}/4$
Triunghiul CDA are CD=a și DA dublul înălțimii AM a triunghiului echilateral 3 (dublul catetei care se opune unghiului de 30 de grade în triunghiul AMD.)
Cum AM are lungimea de
{a sqrt{3}}/2
aria triunghiului CDA este egală cu
{a cdot a sqrt{3} cdot sin {120}}/2=
${a^2 sqrt{3} sin {60}}/2=$
${a^2 sqrt{3} {sqrt{3}}/2}/2={3a^2}/4$
În fine, aria triunghiului 9 este egală cu
$(3)~ {a^2 (2+sqrt{3})}/4 -{3a^2}/4=$
${a^2 (sqrt{3}-1)}/4$
Ținând seama de (1), (2) și (3), suprafața întregii baze sportive este egală cu
$4a^2 +{a^2 sqrt{3}}/2 +{a^2 (sqrt{3}-1)}/4=$
${16a^2 +2a^2 sqrt{3}+a^2 sqrt{3}-a^2 }/4=$
${15a^2 +3a^2 sqrt{3}}/4=$
${3a^2}/4 (5+sqrt{3})$