Lanțul

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 18 Noiembrie 2016 18 Noiembrie 2016; Accesări: 1847 1847

Ultimii 2 metri dintr-un lanț atârnat de un stâlp vertical zac pe pământ la picioarele stâlpului. Dacă se trage de capătul liber al lanțului până când lanțul devine perfect întins, capătul liber care atinge pământul se va găsi la 8 metri distanță de baza stâlpului.
Care este lungimea totală a lanțului?
(Din lucrarea „9 capitole de artă matematică” apărută în China în secolul al III-lea î.e.n.)

Soluție:

un triunghi ABC dreptunghic în B notat de sus în sens orar cu BC egal cu 8 AB notat cu x și AC egal cu x+2

Să notăm cu A punctul în care e suspendat lanțul, cu B baza stâlpului și cu C punctul în care capătul liber al lanțului perfect întins atinge pământul.
În mod evident, triunghiul ABC este dreptunghic în B iar lungimea catetei BC este de 8m. Dacă notăm cu x distanța dintre punctele A și B, atunci lungimea totală a lanțului reprezentată de distanța dintre punctele A și C va fi, evident, egală cu x+2.
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, avem
${AB}^2 +{BC}^2 ={AC}^2 doubleleftright$
$x^2 +8^2 ={(x+2)}^2 doubleleftright$
x^2 +64=x^2 +4x+4 doubleleftright
x^2 -x^2 +4x=64-4 doubleleftright
4x=60 doubleleftright
x=15.
Așadar, lungimea totală a lanțului este egală cu 15+2=17 metri.