Coșmarul unui microbist

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme cu puțină geometrie Probleme cu puțină geometrie; Publicat: 19 August 2016 19 August 2016; Accesări: 2671 2671

Când Brazilia a ratat calificarea în finala campionatului mondial de fotbal din 2014, Roberto Santos a fost atât de dărâmat, încât a adormit cu berea în fața televizorului. A avut un somn agitat, ba chiar și un coșmar în care se făcea că el, Roberto Santos, numit în locul portarului făcut de râs al naționalei, se antrena într-o cameră mare, nemobilată, trimițând mingea la perete și prinzând-o înapoi. Pe urmă, cu nespusă groază, văzu cum începe să se micșoreze, devenind din ce în ce mai mic, până când se transformă într-o minge de ping-pong. La rândul ei, mingea de fotbal începu să crească din ce în ce mai mult și să devină tot mai grea, până când se transformă într-o ghiulea de fontă cu diametrul dublu. Atunci, deveni de neoprit: începu să se învârtească și să se rostogolească nebunește pe urmele mingii de ping-pong, încercând s-o prindă și s-o strivească, în timp ce mingea de ping-pong căuta cu disperare să se ferească din calea ei.
Va reuși mingea de ping-pong să se adăpostească de mingea de fontă, fără să părăsească podeaua? Dacă da, cum?

Soluție:

Dacă mingea de ping-pong va ține peretele, rostogolindu-se de-a lungul lui, mingea de fontă nu va reuși cu niciun chip s-o strivească.
Cei care știu puțină geometrie vor înțelege că, dacă diametrul mingii mari este de cel puțin 5,83 ori, sau de
(3+2 sqrt{2})
ori mai mare decât diametrul mingii mici, atunci mingea mică va fi în siguranță dacă va ține peretele, rostogolindu-se de-a lungul lui.
Într-adevăr, pentru ca mingea mică să nu fie strivită de cea mare atunci când se mișcă tangent cu peretele, este suficient ca sferele reprezentate de cele două mingi să fie tangente sau ca, echivalent, cercurile mari ale celor două sfere să fie tangente. Acest lucru se exprimă prin egalitatea distanței dintre centrele celor două cercuri și suma razelor lor (vezi desenul de mai jos, în care mingile sunt reprezentate în secțiune verticală.)

un unghi drept în care sunt înscrise un cerc mic de centru O și un cerc mare de centru P tangente în A și B la latura orizontală și în C și D la latura verticală

Să mai observăm că, din cauza tangenței la laturile unghiului, linia centrelor celor două cercuri coincide cu bisectoarea unghiului. Din acest motiv, triunghiurile VAO și VBP sunt dreptunghice isoscele.
Ținând seama de aceste observații și notând cu r raza mingii de ping-pong și cu x raza mingii de fontă, putem scrie că
VA=OA=r;~VO=r sqrt{2};
VB=PB=x;
VP=VO+OP=r sqrt{2}+r+x.
Aplicând apoi teorema lui Pitagora în triunghiul VBP, vom obține următoarea ecuație în x, din care vom putea exprima pe x în funcție de r:
${VB}^2 +{PB}^2 ={VP}^2 doubleleftright$
$x^2 +x^2 ={(r+x+r sqrt{2})}^2 doubleleftright$
$2x^2 =r^2 +x^2 +2r^2 +2rx+2r^2 sqrt{2}+2r sqrt{2}x doubleleftright$
$2x^2 -x^2 -2(r+r sqrt{2})x-3r^2 -2r^2 sqrt{2}=0 doubleleftright$
$x^2 -2(r+r sqrt{2})x -3r^2 -2r^2 sqrt{2}=0.$
Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea în x:
$Delta prime={(r+r sqrt{2})}^2 -(-3r^2 -2r^2 sqrt{2})=$
$r^2 +2r^2 +2r^2 sqrt{2}+3r^2 +2r^2 sqrt{2}=6r^2 +4r^2 sqrt{2}=$
${(2r+r sqrt{2})}^2 .$
Rădăcinile ecuației de gradul al doilea în x sunt atunci:
$x_1=(r+r sqrt{2})-sqrt{Delta prime};~x_2=(r+r sqrt{2})+sqrt{Delta prime} doubleleftright$
$x_1=r+r sqrt{2}-2r-r sqrt{2};~x_2=r+r sqrt{2}+2r+r sqrt{2} doubleleftright$
$x_1=-r;~x_2=r(3+2 sqrt{2}).$
Doar ultima soluție este admisibilă și ea arată că, într-adevăr, pentru ca mingea de fontă să fie tangentă la mingea de ping-pong (să o atingă doar într-un punct), diametrul ei trebuie să fie de

ori mai mare decât diametrul mingii de ping-pong (adică de aproximativ 5,83 ori mai mare).
Prin urmare, dacă diametrul mingii mari este de cel puțin 5,83 ori mai mare decât diametrul mingii mici, iar mingea mică „ține peretele”, mișcându-se tangent cu el, ea nu va putea fi decât cel mult atinsă de mingea mai mare.
Și cum diametrul mingii de fontă este de cel puțin 44 cm (dublul diametrului unei mingi de fotbal obișnuite), iar diametrul mingii de ping-pong este de 4 cm, diametrul mingii de fontă este de 11 ori mai mare decât diametrul mingii de ping-pong și deci condiția de mai sus este cu prisosință îndeplinită.
Astfel că, dacă mingea de ping-pong va „ține peretele”, mișcându-se tangent cu el, ea se va putea adăposti din calea mingii de fontă, fără a părăsi podeaua și fără a fi zdrobită.