Logicus - Antrenamentul conexiunilor rapide

Un ursuleț gumat original cântărește 10g, în timp ce unul contrafăcut cântărește doar 9g. Dudi are 7 pachete cu ursuleți gumați, din care doar 4 conțin ursuleți originali, celelalte având în ele ursuleți contrafăcuți.
Cum poate Dudi determina cele 4 pachete conținând ursuleți gumați originali, folosind doar o singură dată cântarul și un număr cât mai mic de ursuleți gumați?

Soluție:

Întrucât un ursuleț contrafăcut este cu 1g mai ușor decât unul original, pentru a putea identifica pachetele cu ursuleți „bolnavi”, va trebui să se extragă din fiecare pungă un număr diferit de ursuleți. Cântărind apoi ursuleții și scăzând greutatea obținută din de 10 ori numărul de ursuleți cântăriți, se obține suma dintre numerele de identificare ale pachetelor cu ursuleți „bolnavi” (numărul de ursuleți extrași din aceste pungi). Pentru a putea identifica pachetele cu ursuleți contrafăcuți, este suficient ca această sumă să se poată descompune în mod unic în suma a trei numere dintre cele alese ca numere de identificare pentru pachete. Astfel, pornind de la 0 pentru prima pungă și alegând în continuare numere cât mai mici, astfel încât oricare două din numerele alese să dea prin însumare rezultate diferite, ne vom atinge scopul urmărit — acela de a putea identifica pungile cu ursuleți contrafăcuți, plecând de la suma numerelor lor de identificare.
Așadar, din primul pachet nu se va scoate nici un ursuleț; din al doilea pachet se va scoate 1 ursuleț; din al treilea 2. Până aici, sumele oricăror două perechi de numere alese sunt diferite. Pentru al patrulea pachet, numărul de identificare nu poate fi 3 (deoarece 0+3=1+2), dar poate fi 4. Pentru al cincilea pachet, acest număr nu poate fi nici 5, nici 6, dar poate fi 7. Pentru pachetele 6 și 7, aceste numere sunt 13 și, respectiv, 24.
Prin urmare, numărul minim de ursuleți care trebuie extrași este egal cu 51:

Se cântăresc acești ursuleți și se scade greutatea lor totală din 510g — greutatea lor dacă toți ar fi originali. Diferența obținută reprezintă suma numerelor de identificare ale pachetelor cu ursuleți contrafăcuți. Întrucât acest număr se descompune în mod unic în suma a trei dintre numerele de identificare alese, se pot determina, plecând de la acest număr, pachetele care conțin ursuleți contrafăcuți.
Iată în tabelul de mai jos, spre verificare, toate tripletele care se pot forma cu numerele de identificare alese și sumele corespunzătoare. Se observă că descompunerile în sume de câte trei din numerele de identificare alese sunt unice:

 

Nr. crt.	Tripletul	Suma corespunzătoare
1	(0,1,2)	0+1+2=3
2	(0,1,4)	0+1+4=5
3	(0,1,7)	0+1+7=8
4	(0,1,13)	0+1+13=14
5	(0,1,24)	0+1+24=25
6	(0,2,4)	0+2+4=6
7	(0,2,7)	0+2+7=9
8	(0,2,13)	0+2+13=15
9	(0,2,24)	0+2+24=26
10	(0,4,7)	0+4+7=11
11	(0,4,13)	0+4+13=17
12	(0,4,24)	0+4+24=28
13	(0,7,13)	0+7+13=20
14	(0,7,24)	0+7+24=31
15	(0,13,24)	0+13+24=37
16	(1,2,4)	1+2+4=7
17	(1,2,7)	1+2+7=10
18	(1,2,13)	1+2+13=16
19	(1,2,24)	1+2+24=27
20	(1,4,7)	1+4+7=12
21	(1,4,13)	1+4+13=18
22	(1,4,24)	1+4+24=29
23	(1,7,13)	1+7+13=21
24	(1,7,24)	1+7+24=32
25	(1,13,24)	1+13+24=38
26	(2,4,7)	2+4+7=13
27	(2,4,13)	2+4+13=19
28	(2,4,24)	2+4+24=30
29	(2,7,13)	2+7+13=22
30	(2,7,24)	2+7+24=33
31	(2,13,24)	2+13+24=39
32	(4,7,13)	4+7+13=24
33	(4,7,24)	4+7+24=35
34	(4,13,24)	4+13+24=41
35	(7,13,24)	7+13+24=44

• Prec
• Mai departe