Aveți 8 saci conținând fiecare câte 48 de monede. Cinci saci conțin monede originale, restul sacilor — monede false, greutatea unei monede false fiind cu 1 g mai mică decât cea a unei monede originale.
Folosind un cântar electronic cu precizie de 1 g și un număr minim de monede, cum puteți determina sacii cu monede false dintr-o singură cântărire?

Soluție:

Întrucât o monedă falsă este cu 1 g mai ușoară decât una originală, pentru a putea identifica sacii cu monede false va trebui să se extragă din fiecare sac un număr diferit de monede. Cântărind apoi monedele extrase și făcând diferența dintre numărul acestora și restul împărțirii dintre greutatea obținută și numărul total al monedelor extrase, se obține suma dintre numerele de identificare ale sacilor cu monede false (numărul de monede extrase din acești saci). Pentru a putea identifica sacii cu monede false, este suficient ca această sumă să se poată descompune în mod unic în suma a trei numere diferite. Astfel, pornind de la 0 pentru primul sac și alegând în continuare numere cât mai mici, astfel încât oricare două din numerele alese să dea prin însumare rezultate diferite, ne vom atinge scopul urmărit — acela de a putea identifica sacii cu monede false, plecând de la suma numerelor lor de identificare.
Așadar, din primul sac nu se va scoate nici o monedă; din al doilea sac se va scoate 1 monedă; din al treilea — 2. Până aici, sumele oricăror două perechi de numere alese sunt diferite. Pentru al patrulea sac, numărul de identificare nu poate fi 3 (deoarece 0+3=1+2), dar poate fi 4. Pentru al cincilea sac, acest număr nu poate fi nici 5, nici 6, dar poate fi 7. Pentru sacii 6, 7 și 8, aceste numere sunt 13, 24  și, respectiv, 44.
Prin urmare, numărul minim de monede care trebuie extrase este egal cu 95:
0+1+2+4+7+13+24+44=95.
Se cântăresc aceste monede și se scade din numărul lor restul împărțirii dintre greutatea obținută și numărul total al monedelor extrase (în cazul nostru 95). Diferența obținută reprezintă suma numerelor de identificare ale sacilor cu monede false. Întrucât acest număr se descompune în mod unic în suma a trei dintre numerele de identificare alese, se pot determina, plecând de la acest număr, sacii care conțin monede false.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: