Tipărire

Patru pescari amatori, Andreescu, Bogdănescu, Constantinescu şi Dumitrescu, au pescuit într-o zi câte 10 peşti: ştiuci, crapi, şalăi, bibani. Nici unul nu a prins acelaşi număr din aceeaşi specie de peşte. Tuturor le-a picat însă în undiţă cel puţin unul şi cel mult patru din fiecare specie. Arătaţi câţi peşti din fiecare specie au prins cei patru pescari dacă:
1. Numărul ştiucilor prinse de Bogdănescu este egal cu al bibanilor pescuiţi de Dumitrescu;
2. Numărul ştiucilor cu care s-a ales Dumitrescu este diferit de cel al bibanilor prinşi de Constantinescu;

3. Numărul bibanilor căzuţi în undiţa lui Constantinescu este egal cu al şalăilor pescuiţi de Bogdănescu
4. Dumitrescu a prins 4 ştiuci;
5. Numărul şalăilor prinşi de Bogdănescu nu este egal cu cel al crapilor lui Andreescu;
6. Constantinescu a adus acasă 2 crapi;
7. Numărul crapilor prinşi de Andreescu este acelaşi cu al şalăilor pescuiţi de Constantinescu;
8. Andreescu a pescuit un biban.

(Dan Lăzărescu - Paleoaritmetica)

Soluţie:

Înainte de a trece la rezolvarea propriu-zisă a problemei, să facem o observaţie de ordin mai general.
Dacă suma a patru numere naturale cel puţin egale cu 1 şi cel mult egale cu 4 este 10, atunci numerele sunt (nu neapărat în această ordine):
- 1, 2, 3, 4 sau
- 2, 2, 2, 4 sau
- 1, 1, 4, 4 sau
- 2, 2, 3, 3 sau
- 1, 3, 3, 3.
Într-adevăr, sunt posibile următoarele cazuri:
1. Cel mai mare dintre cele patru numere este 4 şi este singurul cu această valoare.
1.1. Cel mai mare dintre celelalte numere este 3.
Cum 4+3=7, suma celorlalte două numere trebuie să fie 3. Deci, în acest caz numerele sunt (nu neapărat în această ordine) 1, 2, 3, 4.
    1.2. Cel mai mare dintre celelalte trei numere este 2.
Cum 4+2=6, suma celorlalte două numere trebuie să fie 4. În acest caz, numerele sunt (nu neapărat în această ordine) 2, 2, 2, 4.
Întrucât cel mai mare dintre celelalte trei numere nu poate fi 1, trecem la cazul următor.
2. Cel mai mare dintre cele patru numere este 4 şi sunt două numere cu această valoare. În acest caz numerele sunt (nu neapărat în această ordine) 1, 1, 4, 4.
3. Cel mai mare dintre cele patru numere este 3 şi sunt două numere cu această valoare.
Cum 3+3=6, suma celorlalte două numere trebuie să fie 4. În acest caz, numerele sunt (nu neapărat în această ordine) 2, 2, 3, 3.
4. Cel mai mare dintre cele patru numere este 3 şi sunt trei numere cu această valoare. Atunci, numerele sunt (nu neapărat în această ordine) 1, 3, 3, 3.

Să trecem acum la rezolvarea propriu-zisă a problemei.
Din 2 şi 4 deducem că numărul bibanilor lui Constantinescu nu poate fi 4, dar nici 1, conform lui 8. Atunci, Constantinescu a pescuit fie 2, fie 3 bibani.
Cazul 1. Constantinescu a pescuit 2 bibani. (9)
Din 3 şi 9 deducem că Bogdănescu a prins 2 şalăi. (10)
Din 8 şi 9 rezultă că Dumitrescu nu a pescuit nici 1, nici 2 bibani, dar nici 4, cf. lui 1 şi 4.
Aşadar, Dumitrescu a prins 3 bibani şi el se încadrează în cazul 1, 2, 3, 4.
Deci, Dumitrescu a pescuit 3 bibani, un crap, 2 şalăi şi 4 ştiuci. (11)
Atunci, cf. lui 10 şi 11, atât Bogdănescu, cât şi Dumitrescu au pescuit acelaşi număr de şalăi. Contradicţie.
Cele de mai sus sunt prezentate în tabelul următor:

 

  Bibani Crapi Şalăi Ştiuci
Andreescu 1      
Bogdănescu     2  
Constantinescu 2 2    
Dumitrescu 3 1 2 4

 

Cazul 2. Constantinescu a pescuit 3 bibani. (9’) Din 3 şi 9’, deducem că Bogdănescu a prins 3 şalăi. (10’) Din 8 şi 9’ rezultă că Dumitrescu nu a pescuit nici 1, nici 3 bibani, dar nici 4, cf. lui 1 şi 4. Aşadar, Dumitrescu a prins 2 bibani şi, întrucât cf. lui 6 el nu poate avea 2 crapi, el se încadrează în cazul 1, 2, 3, 4. Deci, Dumitrescu a pescuit 2 bibani, 3 crapi, un şalău şi 4 ştiuci. (11’) Conform lui 6 şi 7 Constantinescu nu poate avea 2 şalăi, dar nici 3, cf. lui 10’. Prin urmare, Constantinescu se încadrează în cazul 1, 2, 3, 4. Deci, Constantinescu a prins 3 bibani, 2 crapi, 4 şalăi şi o ştiucă. (12) Din 10’, 11’ şi 12 deducem că Andreescu are 2 şalăi şi se încadrează în cazul 1, 2, 3, 4. Andreescu a pescuit aşadar un biban, 4 crapi, 2 şalăi şi 3 ştiuci, iar Bogdănescu - 4 bibani, un crap, 3 şalăi şi două ştiuci. Cele de mai sus sunt prezentate în tabelul următor.

  Bibani Crapi Şalăi Ştiuci
Andreescu 1 4 2 3
Bogdănescu 4 1 3 2
Constantinescu 3 2 4 1
Dumitrescu 2 3 1 4