Găsiți un număr de 10 cifre a cărui primă cifră numără câți de 1 apar în număr, a doua cifră arată câte cifre de 2 conține numărul, a treia câte cifre de 3, și așa mai departe până la ultima cifră a numărului care contorizează cifrele de 0 ale numărului.

Soluție:

Penultima cifră a numărului nu poate fi diferită de 0. Dacă penultima cifră ar fi 1, numărul ar trebui să conțină o cifră de 9 pe una din pozițiile de la 1 la 8 sau pe poziția a 10-a. Cum a 10-a cifră nu poate fi 9, fiindcă a 9-a cifră nu este 0, aceasta ar însemna că una din cifrele de la 1 la 8 apare de 9 ori în scrierea numărului și cum deja 2 poziții sunt ocupate (cu 1 și 9), această cifră nu poate fi decât 1. Dar atunci, conform regulii din enunț, numărul ar trebui să conțină o cifră de 0, lucru imposibil, întrucât numărul are 9 pe prima poziție și 1 în rest.
Deci, penultima cifră a numărului nu poate fi 1. Dacă penultima cifră a numărului ar fi 2, atunci cifra 9 ar apărea de două ori pe una din pozițiile de la 1 la 8 sau pe poziția a 10-a, ceea ce înseamnă că două cifre cuprinse între 1 și 8 apar de 9 ori pe cele 7 (sau 8) poziții rămase libere în scrierea numărului, ceea ce evident nu este posibil. Așadar, penultima cifră a numărului nu poate fi nici 2. Un raționament asemănător arată că penultima cifră nu poate fi nici 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.
Prin urmare, penultima cifră a numărului cerut este 0.
O deducție asemănătoare ne conduce la concluzia că și antepenultima și a patra cifră de la dreapta la stânga ale numărului trebuie să fie 0.
Să analizăm acum câte cifre de 0 ar putea conține numărul cerut.
Este evident că numărul cifrelor de 0 pe care le conține acest număr nu poate fi decât 3, 4, 5 sau 6 (întrucât cifrele 7, 8 și 9 au 0 apariții în scrierea numărului.)
Dacă numărul cerut ar conține 3 cifre de 0, atunci ultima cifră a numărului ar fi 3, iar cele trei cifre din stânga lui 3 ar fi 0. Atunci, a 3-a cifră a numărului (cea care arată câte cifre de 3 conține) nu poate fi decât 1. Dacă ar fi 2, de exemplu, atunci pe pozițiile 1, 2, 4, 5 și 6 ar apărea cifre diferite de 0, una dintre ele fiind egală cu 3. Dacă aceasta ar fi cifra de pe poziția 1, atunci cifra 1 trebuie să apară de trei ori pe pozițiile 2, 4, 5 și 6 și tot pe aceste poziții ar trebui să mai apară cel puțin o dată cifrele 4, 5 și 6, ceea ce este imposibil. La aceeași concluzie se ajunge și în cazul în care am presupune că 3 se află pe una din pozițiile 2, 4, 5 sau 6. Cu alte cuvinte, 3 nu poate apărea de 2 ori în scrierea numărului, dar nici de un număr de ori mai mare decât 2. Atunci, 3 apare o singură dată și pe poziția a 3-a trebuie să se găsească cifra 1. Atunci, pe pozițiile 1, 2, 4, 5 și 6 se află cifre diferite de 0, sau cu alte cuvinte pe aceste poziții cifrele 1, 2, 4, 5 și 6 apar cel puțin o dată, multiplicate cu ordinul de multiplicitate corespunzător. Lucru imposibil! Acestea arată că ultima cifră a numărului nu poate fi 3.
O deducție asemănătoare arată că ultima cifră nu poate fi nici 4 sau 5. Astfel, ultima cifră este 6, iar 0 apare de șase ori în scrierea numărului. Următoarele trei poziții ale numărului din stânga lui 6 sunt ocupate de 0. A 6-a cifră a numărului nu poate fi decât 1. Dacă ar fi 2, de exemplu, atunci pe pozițiile 1, 2, 3, 4 și 5 ar fi trei cifre de 0 și un 6, adică pe aceste poziții apare cifra 0 de trei ori, cifra 6 o dată și una din cifrele 1, 2, 3, 4 sau 5 de 6 (sau 5) ori. Lucru imposibil! Același lucru s-ar întâmpla dacă pe poziția a 6-a a numărului s-ar afla cifre mai mari ca 2.
Astfel, a 6-a cifră a numărului cerut este 1.
Cum pe pozițiile 1, 2, 3, 4 și 5 trebuie să se afle trei cifre de 0 și cum deja în scrierea numărului există o cifră de 1, singura variantă posibilă este cea în care pe prima poziție este 2, pe a doua 1, iar pe pozițiile 3, 4 și 5 – 0.
Așadar, numărul cerut este: 2100010006.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: