Tipărire

Găsiți un număr de 10 cifre a cărui primă cifră numără zerourile din număr, a doua cifră arată câte cifre de 1 conține numărul, a treia câte cifre de 2, și așa mai departe, până la ultima cifră a numărului care contorizează cifrele de 9 ale numărului.

Soluție:

Ultima cifră a numărului nu poate fi diferită de 0. Dacă ultima cifră ar fi de exemplu 1, numărul ar trebui să conțină o cifră de 9 pe una din pozițiile de la 1 la 9. Aceasta ar însemna că una din cifrele de la 0 la 8 apare de 9 ori în scrierea numărului și cum deja 2 cifre sunt 1 și 9, această cifră nu poate fi decât 1. Dar atunci numărul ar conține numai cifrele 1 și 9 și nu ar mai respecta regula de construcție din enunț, aceea că fiecare cifră reprezintă numărul de apariții ale cifrei cu o unitate mai mică decât ordinul cifrei respective în scrierea numărului, cifra 1 apărând de pildă de 9 ori și nu o singură dată. Deci, ultima cifră a numărului nu poate fi 1. Dacă ultima cifră a numărului ar fi 2, atunci cifra 9 ar apărea de două ori pe una din pozițiile de la 1 la 9, ceea ce înseamnă că două cifre cuprinse între 0 și 8 apar de 9 ori pe cele 7 poziții rămase libere în scrierea numărului, ceea ce evident nu este posibil. Așadar, ultima cifră a numărului nu poate fi nici 2. Un raționament asemănător arată că ultima cifră nu poate fi nici 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.
Așadar, ultima cifră a numărului cerut este 0.
O deducție asemănătoare ne conduce la concluzia că și penultima și antepenultima cifră a numărului trebuie să fie 0.
Să analizăm acum câte cifre de 0 ar putea conține numărul cerut.
Este evident că numărul cifrelor de 0 pe care le conține acest număr nu poate fi decât 3, 4, 5 sau 6 (întrucât cifrele 7, 8 și 9 au 0 apariții în scrierea numărului.)
Dacă numărul cerut ar conține 3 cifre de 0, atunci prima cifră a numărului ar fi 3, iar ultimele trei cifre ar fi 0. Atunci, a patra cifră a numărului (cea care arată câte cifre de 3 conține) nu poate fi decât 1. Dacă ar fi 2, de exemplu, atunci pe pozițiile 2, 3, 5, 6 și 7 ar apărea cifre diferite de 0, una dintre ele fiind egală cu 3. Dacă aceasta ar fi cifra de pe poziția 2, atunci cifra 1 trebuie să apară de trei ori pe pozițiile 3, 5, 6 și 7 și tot pe aceste poziții ar trebui să mai apară cel puțin o dată cifrele 4, 5 și 6, ceea ce este imposibil. La aceeași concluzie se ajunge și în cazul în care am presupune că 3 se află pe una din pozițiile 3, 5, 6 sau 7. Cu alte cuvinte, 3 nu poate apărea de 2 ori în scrierea numărului, dar nici de un număr de ori mai mare decât 2. Atunci, 3 apare o singură dată și pe poziția a patra trebuie să se găsească cifra 1. Atunci, pe pozițiile 2, 3, 5, 6 și 7 se află cifre diferite de 0, sau cu alte cuvinte pe aceste poziții cifrele 1, 2, 4, 5 și 6 apar cel puțin o dată, multiplicate de un număr de ori corespunzător cu cifra specificată. Lucru imposibil! Toate acestea arată că prima cifră nu poate fi 3.
O deducție asemănătoare arată că prima cifră nu poate fi nici 4 sau 5. Astfel, prima cifră este 6, iar 0 apare de șase ori în scrierea numărului. Ultimele trei poziții ale numărului sunt ocupate de 0. A patra cifră de la dreapta nu poate fi decât 1. Dacă ar fi 2, de exemplu, atunci pe pozițiile 2, 3, 4, 5 și 6 ar fi trei cifre de 0 și un 6, adică pe aceste poziții ar trebui să apară cifra 0 de trei ori, cifra 6 o dată și una din cifrele 1, 2, 3, 4 sau 5 de 6 ori. Lucru imposibil! Același lucru s-ar întâmpla dacă pe poziția a patra de la dreapta s-ar afla cifre mai mari decât 2.
Astfel, a patra cifră de la dreapta a numărului cerut este 1.
Cum pe pozițiile 2, 3, 4, 5 și 6 trebuie să se afle trei cifre de 0 și cum deja în scrierea numărului există o cifră de 1, singura variantă posibilă este cea în care pe poziția a doua este 2, pe a treia 1, iar pe pozițiile 4, 5 și 6 — zero.
Așadar, numărul cerut este 6210001000.