Bărci cu motor de închiriat

Pe un lac de agrement din Elveţia, de la două debarcadere situate faţă în faţă pe maluri opuse pornesc în acelaşi timp două bărci cu motor — una cu echipaj austriac de la debarcaderul 1 spre debarcaderul 2, iar cealaltă cu echipaj rusesc de la debarcaderul 2 spre debarcaderul 1. Vitezele celor două bărci sunt constante dar diferite şi ruşii îi întâlnesc pe austrieci în această primă călătorie la distanţa de 800 m de debarcaderul 1. Ajunse la destinaţie, bărcile se opresc iar echipajele iau o pauză de un sfert de oră pentru a face fotografii. Apoi, bărcile se întorc şi ruşii se întâlnesc cu austriecii pentru a doua oară, de această dată la distanţa de 500 m de debarcaderul 2.
Puteţi spune care este lăţimea lacului între cele două debarcadere?

Citește mai departe: Bărci cu motor de închiriat

Cu trenul la schi

Un tren ce transporta turişti într-o staţiune alpină situată la 3000 m altitudine urca din vale până în vârf cu o viteză medie de 40 km/h şi făcea acelaşi  drum la coborâre cu o viteză medie de 60 km/h.
Un tânăr schior, observând această diferenţă, îi spune prietenului său:
— Dacă trenul are la dus o viteză medie de 40 km/h iar la întoarcere de 60 km/h, înseamnă că viteza medie a trenului pe întregul parcurs dus-întors este de 50 km/h.
— Greşeşti, îl corectează prietenul. Viteza medie pe traseul dus-întors nu este egală cu media aritmetică a vitezelor medii la dus şi la întoarcere. Ea este cu ceva mai mică decât media lor aritmetică.
Puteţi preciza, mai exact, cu cât este egală viteza medie a trenului pe întregul parcurs şi cum se determină ea?

Soluţie:

Iată cum se calculează viteza medie a trenului pe întregul traseu dus-întors.
Să notăm această viteză cu v, distanţa din vale până în staţiunea montană cu d şi să presupunem că această distanţă este parcursă la dus cu o viteză medie v_1 în timpul t_1, iar la întoarcere cu o viteză medie v_2 în timpul t_2.
Atunci:
(1) v={2d}/{t_1+t_2},
iar
(2) t_1=d/{v_1}
şi
(3) t_2=d/{v_2}.
Din (1), (2) şi (3) obţinem:
v={2d}/{d/{v_1}+d/{v_2}}={2d}/{{d(v_1+v_2)}/{v_1v_2}}=2d cdot {v_1v_2}/{d(v_1+v_2)}={2v_1v_2}/{v_1+v_2}.
Adică
v={2v_1v_2}/{v_1+v_2}
sau, viteza medie a trenului pe traseul dus-întors este egală cu media armonică a vitezelor medii la dus şi la întoarcere.
Înlocuind v_1 cu 40 km/h şi v_2 cu 60 km/h în relaţia găsită, obţinem o viteză medie egală cu
v={2 cdot 40 cdot 60}/{40+60}={2 cdot 40 cdot 60}/100=2 cdot 4 cdot 6=48 km/h.

În Franţa, pe autostradă

Cu ocazia campionatului european de fotbal, pe două din benzile unei autostrăzi din Franţa, două coloane de autocare cu turişti se îndreaptă una spre cealaltă. Autocarele aparţin aceleiaşi firme şi sunt identice, circulă cu aceeaşi viteză constantă şi păstrează între ele aceeaşi distanţă. Între cele două benzi, pe o pistă pentru biciclişti, un biciclist înaintează şi el cu viteză constantă. La un moment dat, el ajunge pe aceeaşi linie cu autocarele din capul celor două coloane şi începe să numere atât autocarele care îi vin din faţă, cât şi pe cele care îl depăşesc, inclusiv pe cele din capul coloanelor. A observat că în momentul când a trecut pe lângă el al zecelea autocar ce venea din faţă, l-a ajuns din urmă al şaselea autocar din coloana care circula în aceeaşi direcţie cu el.
Acest lucru i-a permis biciclistului să afle de câte ori era mai mare viteza autocarelor decât a sa. Puteţi preciza ce valoare a determinat biciclistul şi cum a ajuns la ea?

Citește mai departe: În Franţa, pe autostradă

Ciclism în circuit

Doi ciclişti se antrenează pe o pistă circulară. Ei pornesc în acelaşi timp, unul lângă altul, dar în scurt timp se distanţează. De fapt, unul face turul pistei în 3 minute, pe când celălalt în doar 2 minute şi jumătate.
În cât timp îşi va ajunge cel din urmă concurentul?

Citește mai departe: Ciclism în circuit

Antrenament la canotaj

Doi canotori începători fac curse zilnice pe lacul de agrement al unei baze sportive din Bucureşti.
Un canotor pleacă de la debarcaderul 1 spre debarcaderul 2 de pe celălalt mal, deplasându-se cu o viteză medie de 2,6 m/s. După 1 minut, al doilea canotor, vâslind cu o viteză medie de 2,8 m/s, îl urmează pe primul, îl ajunge din urmă şi ating în acelaşi moment pontonul debarcaderului 2.
Care este distanţa dintre cele două debarcadere?

Citește mai departe: Antrenament la canotaj

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: