Tipărire

Două plante din specii diferite de porumb – una cu bobul auriu și alta cu bobul roșu – au răsărit în același timp. În prima zi, cea dintâi a crescut 3 dm iar a doua 1 dm. În zilele următoare, plantele au continuat să crească astfel: prima – jumătate din cât crescuse în ziua precedentă iar a doua – dublu față de cât crescuse înainte cu o zi.
După cât timp se vor afla cele două plante la aceeași înălțime și care va fi această înălțime?
(după Sun Tsu Suan-Ching – secolul IV, d.Chr.)

Soluție:

În cea de-a doua zi, porumbul cu bobul auriu va crește 1,5 dm iar porumbul cu bobul roșu – 2 dm. Astfel, primul va avea înălțimea de
3+1 1/2=4 1/2~dm,
iar al doilea de
1+2=3~dm.
În a treia zi, porumbul auriu va mai crește 0,75 dm și va avea înălțimea de
4 1/2 +1/2 +1/4=5 1/4~dm
iar cel roșu va mai crește 4 dm și va atinge înălțimea de
1+2+4=7~dm.
Prin urmare, în cea de-a treia zi plantele se vor afla la aceeași înălțime, să spunem H. Să calculăm acum exact intervalul de timp T al acestei zile, după care va avea loc egalizarea.
Așadar, în intervalul de timp T, prima plantă va crește H-4 1/2 dm iar a doua H-3 dm.
În a treia zi, porumbul auriu crește 3/4 dm cu o viteză de
v_a={3/4}/{24}=1/{32}~dm slash h
iar porumbul roșu crește 4 dm cu o viteză de
v_r=4/{24}=1/6~dm slash h.
Astfel, momentul T din cea de a treia zi la care plantele se vor afla la aceeași înălțime H se va calcula după cum urmează.
Pentru porumbul auriu:
T={H-4 1/2}/{v_a}={H-4 1/2}/{1/{32}}=32 cdot (H-4 1/2)
iar pentru porumbul roșu
T={H-3}/{1/6}=6 cdot (H-3).
Egalând cele două expresii care reprezintă același moment, obținem:
32 cdot (H-4 1/2)=6 cdot (H-3) doubleleftright
32 cdot (H-9/2)=6 cdot (H-3) doubleleftright
32H-144=6H-18 doubleleftright
32H-6H=144-18 doubleleftright
26H=126 doubleleftright
H={126}/{26}={63}/{13}=4 {11}/{13}~dm.
Intervalul de timp T al celei de-a treia zi după care va avea loc egalizarea înălțimilor este
T=6({63}/{13}-3)=6 cdot {63-39}/{13}=6 cdot {24}/{13}={144}/{13}=11 1/{13}~h approx 11h~4min~37s.
Așadar, după 2 zile, 11 ore, 4 minute și 37 de secunde, cele două plante se vor afla la aceeași înălțime, de 4 11/13 decimetri.