La 12 fără 16 minute, limbile ceasului formează un unghi drept. Acest lucru este valabil şi când ceasul indică ora 3 fix.
De câte ori se întâmplă acelaşi lucru într-o zi, de la ora 0 până la ora 24?

un ceas care arată ora 3 fix

Soluție:

Vom calcula de câte ori apare fenomenul de perpendicularitate între ora 0 și miezul zilei, urmând să înmulțim apoi rezultatul obținut cu 2, întrucât mișcarea acelor ceasornicului se reia periodic din 12 în 12 ore.
Vom alege ca origine a mișcării, față de care să stabilim poziția acelor ceasornicului la un moment dat, chiar raza corespunzătoare orei 12 (0), de unde începe mișcarea celor două ace, și ca moment inițial (moment zero) ora n (unde n poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sau 11.)
Minutarul se mișcă cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 60 minute, sau de 6 grad/min, iar orarul cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 12x60 minute, sau de 0,5 grad/min.
Dacă T este momentul (în minute, din intervalul [0,60)) la care acele ceasornicului sunt în unghi drept, atunci măsura în grade a arcului de cerc parcurs de minutar până în acest moment este egală cu 6T, iar cea a arcului parcurs de orar în același interval de timp este de 0,5T. Cum orarul se va afla în acest moment la 0,5T+30n grade față de origine, iar modulul diferenței dintre măsura acestui arc și măsura arcului parcurs de minutar este fie de 90 de grade, fie de 270 de grade, rezultă că
delim{|}{6T-(0,5T+30n)}{|}=90~sau~delim{|}{6T-(0,5T+30n)}{|}=270 doubleleftright
delim{|}{6T-0,5T-30n}{|}=90~sau~delim{|}{6T-0,5T-30n}{|}=270 doubleleftright
delim{|}{5,5T-30n}{|}=90~sau~delim{|}{5,5T-30n}{|}=270 doubleleftright
delim{|}{11T-60n}{|}=180~sau~delim{|}{11T-60n}{|}=540,
unde
 n in lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 rbrace .
După cum se va vedea în tabelul de mai jos, pentru fiecare n, mai puțin n=2 și n=8 (pentru care nu există decât câte o soluție), există câte 2 soluții, deci în total sunt 22 de soluții.

(Întrucât din 6 în 6 ore, pozițiile acului orar formează un unghi alungit, problema poate fi simplificată încă și mai mult, reducând-o la rezolvarea celor 2 ecuații pentru n=0, 1, 2, 3, 4 și 5, restul soluțiilor, pentru n=6, 7, 8, 9, 10, 11, rezultând automat din primele, pe baza periodicității de 6 ore.)

În continuare, în tabelul de mai jos sunt trecute, pentru toate valorile lui n de la 0 la 11, momentele corespunzătoare la care are loc perpendicularitatea acelor ceasornicului, pentru a se observa mai bine această periodicitate.
În concluzie, pe parcursul unei zile, între ora 0 și ora 24, au loc în total 44 de poziționări în unghi drept ale minutarului și orarului.

n Primul moment Al doilea moment
0 0h 16min 21,82s 0h 49min 5,45s
1 1h 21min 49,09s 1h 54min 32,73s
2 2h 27min 16,36s -
3 3h 3h 32min 43,64s
4 4h 05min 2,73s 4h 38min 10,91s
5 5h 10min 54,55s 5h 43min 38,18s
6 6h 16min 21,82s 6h 49min 5,45s
7 7h 21min 49,09s 7h 54min 32,73s
8 8h 27min 16,36s -
9 9h 9h 32min 43,64s
10 10h 05min 2,73s 10h 38min 10,91s
11 11h 10min 54,55s 11h 43min 38,18s

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: