Un ceasornicar a început reparația unui ceas cu cuc după ora 4 și a terminat-o după ora 7, momente în care indicațiile orare ale pendulei de perete (care arăta ora corect) se puteau substitui reciproc, dacă arătătoarele și-ar fi schimbat locul între ele.
Să se determine cât timp a durat reparația ceasului cu cuc și să se arate că, la începutul și la sfârșitul lucrării, acele pendulei de perete erau egal înclinate față de axa verticală.

Soluție:

Vom alege ca origine a mișcării, față de care să stabilim poziția acelor pendulei la un moment dat, chiar raza corespunzătoare orei 12.
Minutarul se mișcă cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 60 minute, sau de 6 grad/min, iar orarul cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 12 ore (12 x 60 minute), sau de 0,5 grad/min.
Prin urmare, dacă începând cu ora 4, acul orar al pendulei a descris un arc de cerc de x grade, vârful orarului aflându-se în acel moment la x+120 grade față de origine (ora 12), minutarul a parcurs până în acel moment un arc de cerc de 12x grade.
În enunț se spune că, schimbând între ele locul orarului și minutarului, ora 4 și (12x)/6 minute, devine ora 7 și (x+120)/6 minute.
Așadar, începând cu ora 7, minutarul a parcurs un arc de cerc cu măsura de  x+120 grade și, în același interval de timp, orarul a parcurs un arc de cerc cu măsura de 12x-210 grade. Putem scrie astfel egalitatea:
{x+120}/6={12x-210}/{0,5} doubleleftright
0,5(x+120)=6(12x-210) delim{|}{cdot}{} 2 doubleleftright
x+120=12(12x-210) doubleleftright
x+120=144x-12*210 doubleleftright
143x=22*120 doubleleftright
x={22*120}/{143}={240}/{13}=18 6/{13}
grade.
Întrucât minutarul se mișcă de 12 ori mai repede decât orarul, putem spune că lucrarea ceasornicarului a început la
{12x}/6=2x=36 {12}/{13}
minute după ora 4.
De asemenea, lucrarea s-a încheiat la ora 7 și
{x+120}/6={{120*2}/{13}+120}/6={300}/{13}=23 1/{13}
minute.
Deci, reparația ceasului cu cuc a durat 3h 13 11/13 min, sau 3h 13 min 50,77s.
Pentru a verifica faptul că acele pendulei sunt egal depărtate față de axa verticală, atât la începutul cât și la sfârșitul lucrării, să observăm că unghiul pe care îl face orarul cu verticala la începutul lucrării este egal cu
180-(x+120)=60-x=60-{240}/{13}={540}/{13}
grade, iar cel făcut de minutar cu verticala este de
12x-180=12* {240}/{13} -180={2880-2340}/{13}={540}/{13}
grade, q.e.d.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: