La miezul zilei şi la miezul nopţii minutarul şi orarul oricărui ceasornic se suprapun. De câte ori, între miezul zilei şi miezul nopţii, se mai suprapune minutarul cu orarul?

un ceas care arată ora 9 și 20

Soluţie:

De 10 ori, şi nu de 11, aşa cum răspund majoritatea celor întrebaţi.
Vom arăta în continuare care sunt pozițiile de pe cadran și în ce momente ale zilei au loc aceste suprapuneri de orar și minutar. Pentru aceasta, vom alege ca origine a mișcării față de care să stabilim poziția acelor ceasornicului la un moment dat chiar raza corespunzătoare orei 12, de unde începe mișcarea celor două ace, și ca moment inițial ora 12, adică miezul zilei. Dacă x este măsura în grade a arcului de cerc de pe cadran corespunzătoare primei suprapuneri a acelor (după ora 12), atunci până în momentul acestei suprapuneri, orarul a parcurs un arc de cerc de x grade iar minutarul un cerc complet plus încă x grade, adică:
360+x
grade.
Minutarul se mișcă cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 60 minute sau de 6 grad/min, iar orarul cu o viteză unghiulară de 360 de grade în 12x60 minute sau de 0,5 grad/min.
Prin urmare, timpul scurs de la ora 12 până în momentul primei suprapuneri, pentru ambele ace ale ceasornicului este:
{360+x}/6=x/{0,5} doubleleftright
{360+x}/6=2x doubleleftright
360+x=12x doubleleftright
11x=360 doubleleftright
x={360}/{11}
grade.
Cum 6 grade de arc corespund unui minut pe cadran, prima suprapunere de orar și minutar va avea loc la
{60}/{11}=5 5/{11}
minute după ora 13 (ora 13h 60/11 min) și la
{360}/{11}=32 8/{11}
grade față de poziția zero, corespunzătoare orei 12.
Întrucât mișcarea acelor ceasornicului este uniformă, momentele și pozițiile de pe cadran corespunzătoare celorlalte 9 suprapuneri se transcriu imediat. În tabelul următor sunt trecute momentele și pozițiile de pe cadran corespunzătoare celor 10 suprapuneri.

Suprapunerea Ora Poziția de pe cadran
1 13h~5 5/{11}~min {32}^{circ} 8/{11}
2 14h~10 {10}/{11}~min {65}^{circ} 5/{11}
3 15h~16 4/{11}~min {98}^{circ} 2/{11}
4 16h~21 9/{11}~min {130}^{circ} {10}/{11}
5 17h~27 3/{11}~min {163}^{circ} 7/{11}
6 18h~32 8/{11}~min {196}^{circ} 4/{11}
7 19h~38 2/{11}~min {229}^{circ} 1/{11}
8 20h~43 7/{11}~min {261}^{circ} 9/{11}
9 21h~49 1/{11}~min {294}^{circ} 6/{11}
10 22h~54 6/{11}~min {327}^{circ} 3/{11}
  24h~(0h) {360}^{circ}~sau~{0}^{circ}

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: