Trei persoane vor să parcurgă 40 km cu un tandem de două locuri, unul dintre ei urmând să meargă aşadar pe jos.

Unul din cei trei, să-i spunem A, face un kilometru în 10 minute, altul — B, în 15 minute, iar C parcurge un kilometru în 20 de minute. Tandemul se deplasează tot timpul cu viteza de 40 km/h.
Cât timp va dura călătoria celor trei, presupunând fireşte că vor adopta metoda cea mai rapidă, alternând mersul pe jos cu cel pe tandem?

 

Soluţie:

Să observăm mai întâi că A se deplasează cu viteza de 6 km/h, B — cu 4 km/h, iar C — cu 3 km/h.
C fiind cel mai lent dintre cei trei călători, el va fi acela care va merge tot timpul pe tandem.
A şi C vor urca primii pe tandem şi vor porni simultan cu B, mergând până într-un punct de unde A va merge mai departe pe jos iar C se va întoarce şi îl va lua pe B, ajungând toţi trei la destinaţie în acelaşi timp.

 

Metoda I

Notând cu x distanţa parcursă de A şi C până în momentul în care A merge mai departe pe jos, constatăm că B parcurge în acest timp distanţa x/10, fiind de 10 ori mai lent decât tandemul.
Timpul cât C se deplasează singur pe tandem până la întâlnirea cu B este egal cu câtul dintre distanţa dintre C şi B şi suma vitezelor acestora *, adică
{9/10 x}/{40+4}=9/440 x.
Distanţa parcursă de C singur pe tandem este
40 cdot 9/440 x=9/11 x,
iar distanţa parcursă de tandem din momentul despărţirii de A până la sfârşitul călătoriei este
2 cdot 9/11 x+(40-x)=18/11 x-x+40={7x+440}/11.
Atunci, timpul scurs de la despărţirea tandemului de A până la capătul călătoriei este
(1) {{7x+440}/11}/40={7x+440}/440,
iar timpul cât A merge pe jos este
(2) {40-x}/6
şi întrucât toţi trei termină în acelaşi timp călătoria, egalând timpii (1) şi (2), obţinem ecuaţia
{7x+440}/440={40-x}/6 doubleleftright
21x+1320=8800-220x doubleleftright
241x=7480 doubleleftright
x=7480/241 km.
Durata totală a călătoriei este
x/40+{40-x}/6={3x+800-20x}/120={800-17x}/120=65640/28920=6564/2892 approx 2,27 ore sau aproximativ 2 ore 16 minute şi 12 secunde.


* Dacă t este timpul scurs din momentul despărţirii lui C de A până în momentul întâlnirii cu B, iar s_{C}, s_{B}, v_{C} şi v_{B} sunt distanţele parcurse de C şi B până în momentul întâlnirii, respectiv vitezele acestora, atunci, evident
t={s_{C}}/{v_{C}}={s_{B}}/{v_{B}}={s_{C}+s_{B}}/{v_{C}+v_{B}}.

 

Metoda a II-a

Ca şi în cazul metodei algebrice, vom încerca să calculăm distanţa d parcursă de A şi C pe tandem până în momentul despărţirii de A, dar folosind un procedeu pur aritmetic.
Viteza lui A fiind 3/20 din viteza tandemului, distanţa parcursă de A pe jos este 3/20 din distanţa parcursă de tandem din momentul despărţirii de A până la sfârşitul călătoriei. Prin urmare, distanţa parcursă de A pe jos este
(1) 3/8,5=30/85=6/17 din distanţa parcursă de C singur pe tandem.
Pe de altă parte, viteza lui B este de 10 ori mai mică decât viteza tandemului, prin urmare distanţa parcursă de B pe jos până în momentul despărţirii tandemului de A este 1/10 din distanţa parcursă de tandem în acelaşi interval de timp. Apoi, B mai merge singur pe jos o zecime din distanţa parcursă de C singur pe tandem, adică 1/11 din distanţa lui B faţă de punctul din care A merge mai departe pe jos sau 1/11 cdot 9/10=9/110 din distanţa parcursă de A şi C pe tandem. Atunci, distanţa parcursă de C singur pe tandem este de 10 ori mai mare, adică
(2) 10 cdot 9/110=9/11 din distanţa parcursă de A şi C pe tandem.
Din (1) şi (2) rezultă acum că distanţa parcursă de A pe jos este
6/17 cdot 9/11=54/187 din distamţa parcursă de A şi C pe tandem.
Aşadar, distanţa d parcursă de A şi C pe tandem este de 187/241 din întregul parcurs, adică
(3) d=187/241 cdot 40=7480/241 km.
Atunci, durata totală a călătoriei este
d/40+{40-d}/6={3d+800-20d}/120={800-17d}/120=65640/28920=6564/2892 approx 2,27 ore sau aproximativ 2 ore 16 minute şi 12 secunde.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: