Cinci marinari sunt aruncaţi de furtună pe o insulă pustie. Având nevoie de hrană pentru a supravieţui, ei îşi petrec prima zi adunând nuci de cocos. Seara târziu, frânţi de oboseală, se duc la culcare, hotărând să lase pentru a doua zi dimineaţă împărţirea echitabilă a nucilor  culese.

În timpul nopţii însă, unul din marinari se trezeşte şi — neavând încredere în camarazii săi — decide să-şi ia singur partea. Pentru aceasta, el împarte nucile de cocos în cinci grămezi egale şi fiindcă  mai rămâne o nucă în plus, o dă unei maimuţe care se ataşase de ei în timpul zilei. Ascunde una din grămezi, amestecă celelalte patru grămezi pentru a nu se vedea că s a umblat la ele, după care se duce la culcare. Fiecare din ceilalţi patru marinari au făcut acelaşi lucru: s-au trezit, au împărţit grămada de nuci în cinci grămezi egale, au rămas cu o nucă în plus pe care i-au dat-o maimuţei, au pus deoparte la loc sigur una din cele cinci grămezi şi s-au culcat, nu înainte de a şterge urmele punând nucile rămase într-o singură grămadă. Dimineaţa grămada de nuci de cocos era considerabil mai mică, dar, cum fiecare marinar se ştia vinovat, nimeni nu a spus nimic. Ei au împărţit în mod egal între ei nucile rămase.
Câte nuci de cocos au strâns cei cinci marinari în ziua precedentă în situaţia când:
A. a doua zi împărţirea s-a făcut exact;
B. la împărţire a mai rămas  o nucă, pe care marinarii i-au dat-o maimuţei.

 

Soluţie:

A. Dacă a doua zi împărţirea nucilor s-a făcut exact, numărul nucilor rămase este în acelaşi timp un multiplu atât de 5 cât şi de 4.
Aşadar, acest număr este un număr de forma 5 cdot 4N.
Atunci, al cincilea marinar a găsit când s-a trezit
V 5 cdot 4N+5N+1=5 cdot 5N+1=5^2N+1 nuci.
La rândul lui, acest număr trebuie să fie un multiplu de 4. Cum acest număr poate fi scris astfel:
5^2N+1=25N+1=24N+N+1,
rezultă că N+1 trebuie să fie un multiplu de 4, adică
N+1=4M doubleleftright N=4M-1.
Al cincilea marinar a găsit prin urmare
5^2(4M-1)+1=5^2 cdot 4M-5^2+1=5^2 cdot 4M-24 nuci.
Al patrulea marinar a găsit atunci
IV 5^2 cdot 4M-24+5^2M-6+1=5^3M-29 nuci.
Dar şi acest număr trebuie să fie un multiplu de 4; scriind numărul sub forma:
5^3M-29=125M-29=124M+M-28-1=124M-28+M-1,
rezultă că numărul M-1 trebuie să fie un multiplu de 4, adică
M-1=4P doubleleftright M=4P+1.
După înlocuire şi efectuarea calculelor, aflăm că numărul nucilor găsite de al patrulea marinar când s-a trezit a fost
5^3 cdot 4P+96.
Continuând în acelaşi fel, obţinem numărul nucilor găsite de al treilea, al doilea şi primul marinar în grămadă ca fiind
III 5^4P+121;
II 5^5L-629;
I 5^6Q+3121.
Prin urmare, numărul minim (pentru Q=0) al nucilor din grămada adunată de marinari este de 3121. Ei au mai găsit a doua zi doar 1020 de nuci.
B. Dacă după împărţirea de a doua zi a mai rămas o nucă, atunci numărul nucilor din grămadă este un multiplu de 4 de forma
5N+1=4N+N+1.
Aşadar, N+1 trebuie să fie un multiplu de 4, N+1=4M. Înlocuind, găsim că numărul nucilor din grămada de a doua zi este de forma
20M-4.
Atunci, al cincilea marinar a găsit în grămadă când s-a trezit
V 5^2M-4 nuci,
iar al patrulea, al treilea, al doilea, respectiv primul
IV 5^3P-4;
III 5^4L-4;
II 5^5Q-4;
I 5^6R-4.
Prin urmare, numărul minim (pentru R=1) al nucilor din grămada adunată de marinari este de 15621. Ei au mai găsit a doua zi doar 5116 nuci.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: