După ora de matematică, pe tablă au rămas scrise numerele 17 şi 58. Diana i-a propus lui Raul un joc: să scrie, pe rând, câte un alt număr natural, care să fie egal cu diferenţa a două numere de pe tablă, dacă acesta nu a fost deja scris. Va pierde cel care nu mai poate scrie nici un număr. Raul a fost de acord şi a adăugat pe tablă numărul 41. Cine a câştigat şi de ce?

Soluţie:

Întrucât cel mai mare număr de pe tablă nu se împarte exact la cel mai mic (nu este un multiplu al acestuia), jocul va continua până când — şi vom vedea mai jos în ce fel — pe tablă vor fi scrise toate numerele naturale mai mici decât cel mai mare număr, adică 58. În acest moment, evident jocul se încheie şi întrucât Raul a scris primul număr din şirul celor 56 de numere care vor urma, cea care va scrie ultimul număr pe tablă este Diana şi astfel ea este şi câştigătoarea jocului.
Să vedem acum de ce pe tablă apar în cursul jocului toate numerele naturale mai mici decât numărul cel mai mare. În primul rând să observăm că la un moment dat pe tablă va apărea 1, moment din care vor putea fi scrise toate numerele mai mici decât 58 şi care nu au fost scrise deja.
De ce apare 1?
Întrucât 58 nu se împarte exact la 17, restul împărţirii lui 58 la 17 fiind 7, prin scăderi succesive ale lui 17, pe tablă va apărea la un moment dat numărul 7; din acelaşi motiv, restul împărţirii lui 17 la 7 fiind 3, pe tablă va apărea 3 la un moment dat; şi în fine, va apărea şi 1, el  fiind restul împărţirii lui 7 la 3.
Prin urmare, Diana este cea care va câştiga jocul.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: