Trei triunghiuri echilaterale

Construiți un triunghi echilateral din 9 bețe de chibrit, așa cum se vede în figura de mai jos. Mutați 3 bețe de chibrit astfel încât să obțineți trei triunghiuri echilaterale.

un triunghi echilateral cu lungimea laturii de 3 bețe

Citește mai departe: Trei triunghiuri echilaterale

Cabanele din Piatra Mare

Pe o hartă a masivului Piatra Mare, cele 5 cabane de pe versantul estic sunt reprezentate prin punctele A, B, C, D și E, ca în figura de mai jos. Segmentele care unesc punctele sunt drumurile de legătură dintre cabane. Dacă am colora aceste drumuri cu roșu sau cu albastru, astfel încât orice triunghi format să nu aibă toate laturile de aceeași culoare, am obține o hartă pe care:

  • oricare 3 din cele 5 puncte sunt necoliniare;
  • oricare 2 din cele 5 puncte sunt unite printr-un segment de culoare roșie sau albastră;
  • niciun triplet din cele 5 puncte nu formează un triunghi cu laturile de aceeași culoare.

A. Pe orice astfel de hartă, în care toate cele trei condiții de mai sus sunt respectate, arătați că:

1) Fiecare punct este capătul a două și numai a două segmente de culoare roșie și a două și numai a două segmente de culoare albastră;

2) Segmentele de culoare roșie formează o linie poligonală închisă care trece prin toate cele 5 puncte (și la fel segmentele de culoare albastră.)

B. Cum trebuie unite cele 5 puncte prin segmente de culoare roșie sau albastră, astfel încât să fie îndeplinită a treia condiție din enunț?

(după o problemă propusă la Olimpiada Internațională de Matematică – Cehoslovacia)

un patrulater ABCD notat în sens orar din colțul stânga sus cu diagonalele trasate și un punct E în interiorul lui unit cu vârfurile patrulaterului

Citește mai departe: Cabanele din Piatra Mare

Niciunul echilateral

Triunghiul din figura de mai jos este alcătuit din 10 monede de 1 ban. Care este numărul minim de monede care trebuie eliminate pentru ca, cu centrele monedelor rămase, să nu se mai poată forma niciun triunghi echilateral? Indicați monedele corespunzătoare într-unul din cele 3 cazuri identice abstracție făcând de simetrii sau rotații.

un triunghi echilateral alcătuit din 10 monede tangente două câte două una pe primul rând două pe al doilea trei pe al treilea și patru pe al patrulea

Citește mai departe: Niciunul echilateral

Cu vârful în jos

Triunghiul din figura de mai jos este alcătuit din 10 monede de 1 ban. Care este numărul minim de mutări care trebuie efectuate pentru ca triunghiul să ajungă cu vârful în jos, fiecare mutare constând în deplasarea unei singure monede care să se poziționeze astfel încât să fie în contact cu cel puțin alte două monede? Precizați aceste mutări.

un triunghi echilateral alcătuit din 10 monede tangente două câte două una pe primul rând două pe al doilea trei pe al treilea și patru pe al patrulea

Citește mai departe: Cu vârful în jos

Crucea magică

Crucea magică din figura de mai jos poate fi obținută dintr-un careu magic prin eliminarea pătratelor din cele 4 colțuri. Completați crucea magică cu numerele de la 1 la 12, astfel încât suma să fie 26 în 7 moduri diferite: pe cele 2 linii, pe cele 2 coloane și în cele 3 regiuni notate cu A, B, respectiv C. Dați două soluții fundamental diferite (care să nu se obțină una din cealaltă prin rotație sau schimb de linii, respectiv coloane.)

  B B  
A C C A
A C C A
  B B  

Citește mai departe: Crucea magică

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: