Pe o hartă a masivului Piatra Mare, cele 5 cabane de pe versantul estic sunt reprezentate prin punctele A, B, C, D și E, ca în figura de mai jos. Segmentele care unesc punctele sunt drumurile de legătură dintre cabane. Dacă am colora aceste drumuri cu roșu sau cu albastru, astfel încât orice triunghi format să nu aibă toate laturile de aceeași culoare, am obține o hartă pe care:

  • oricare 3 din cele 5 puncte sunt necoliniare;
  • oricare 2 din cele 5 puncte sunt unite printr-un segment de culoare roșie sau albastră;
  • niciun triplet din cele 5 puncte nu formează un triunghi cu laturile de aceeași culoare.

A. Pe orice astfel de hartă, în care toate cele trei condiții de mai sus sunt respectate, arătați că:

1) Fiecare punct este capătul a două și numai a două segmente de culoare roșie și a două și numai a două segmente de culoare albastră;

2) Segmentele de culoare roșie formează o linie poligonală închisă care trece prin toate cele 5 puncte (și la fel segmentele de culoare albastră.)

B. Cum trebuie unite cele 5 puncte prin segmente de culoare roșie sau albastră, astfel încât să fie îndeplinită a treia condiție din enunț?

(după o problemă propusă la Olimpiada Internațională de Matematică – Cehoslovacia)

un patrulater ABCD notat în sens orar din colțul stânga sus cu diagonalele trasate și un punct E în interiorul lui unit cu vârfurile patrulaterului

Soluție:

A. 1) Să presupunem, prin reducere la absurd, că din punctul A, de pildă,  ar pleca 3 segmente de culoare roșie, fie acestea AB, AC și AD. Dar atunci, conform celei de-a treia condiții din enunț, segmentele BC, CD și DB ar trebui să fie de culoare albastră și triunghiul BCD ar avea toate laturile de aceeași culoare. Contradicție cu condiția a treia din enunț.
Contradicția arată că din punctul A nu pot pleca 3 segmente de culoare roșie. Prin urmare, din A pleacă două și numai două segmente de culoare roșie și două și numai două segmente de culoare albastră (și analog pentru celelalte puncte.)

punctele A B C și D sunt unite între ele iar E nu e unit cu nimeni și segmentele AB AC și AD sunt roșii iar BC CD și DB sunt albastre

2) Dacă din punctul A ies segmentele AB și AC de aceeași culoare (de exemplu roșie), atunci segmentele AE și AD trebuie să fie de culoare albastră. Conform condiției a treia din enunț, BC va fi albastru iar ED roșu.
Dacă DC este roșu, atunci DB este albastru, BE este roșu iar EC albastru. Se obțin două contururi poligonale închise: unul roșu (EBACDE) și unul albastru (EADBCE.)
Dacă DC este albastru, atunci DB este roșu, BE este albastru iar EC roșu. Se obțin două contururi poligonale închise: unul roșu (ECABDE) și unul albastru (EADCBE.)
Așadar, în ambele situații, atât segmentele de culoare roșie cât și segmentele de culoare albastră formează o linie poligonală închisă, care trece prin toate cele 5 puncte.

toate cele 5 puncte sunt unite între ele în primul desen AB AC BE CD și DE roșii iar restul albastre iar în al doilea desen AB AC BD CE și DE roșii iar restul albastre

B. Pentru ca a treia condiție din enunț să fie îndeplinită, este necesar ca drumurile care pleacă din același punct să fie 2 roșii și 2 albastre.
Așadar, AB și AE pot fi roșii iar AC și AD albastre sau AB și AD roșii iar AE și AC albastre sau AB roșu, AE albastru, AC roșu și AD albastru (și evident încă 3 cazuri obținute inversând culorile.)
I. În primul caz, AB și AE sunt roșii, BE albastru; AC și AD albastre, CD roșu (pentru a nu exista un triunghi cu laturile de aceeași culoare.)
Dacă ED este roșu, atunci EC este albastru, CB roșu și BD albastru;
Dacă ED este albastru, atunci EC este roșu, CB este albastru și BD roșu.
II. În al doilea caz, AB și AD sunt roșii, BD albastru; AE și AC albastre, EC roșu.
Dacă CD este roșu, atunci CB este albastru, BE este roșu și ED albastru.
Dacă CD este albastru, atunci CB este roșu, BE este albastru și ED roșu.
III. În al treilea caz, AB și AC sunt roșii, BC albastru; AE și AD albastre, ED roșu.
Dacă DC este roșu, atunci CE este albastru, EB este roșu iar BD albastru.
Dacă DC este albastru, atunci CE este roșu, EB este albastru iar BD roșu.
Există astfel 12 moduri diferite de a colora în roșu și albastru drumurile de legătură dintre cabane, astfel încât să fie îndeplinită a treia condiție din enunț.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: