Străbunici şi străbunice

Câţi străbunici şi câte străbunice au avut în total toţi străbunicii şi toate străbunicele tale?

Citește mai departe: Străbunici şi străbunice

Cifre identice

Dacă scriem data de 7 iulie 2007 sub forma 7.7.7, sau data de 11 noiembrie 2011 sub forma 11.11.11, atunci scrierea datei se face folosind o singură cifră.
De câte ori în decurs de un secol scrierea zilei, a lunii şi a ultimelor două cifre ale anului se face folosind aceeaşi cifră? Care sunt datele respective?

Citește mai departe: Cifre identice

Cel puţin o dată cifra 7

Câte numere de cinci cifre conţin cel puţin o dată cifra 7?

Citește mai departe: Cel puţin o dată cifra 7

Cifre pentru paginare

Pentru a numerota paginile unui volum, un tipograf a avut nevoie de 2989 de cifre. Puteţi spune câte pagini a avut în total acest volum?

Citește mai departe: Cifre pentru paginare

Pătrate şi dreptunghiuri

Câte dreptunghiuri şi pătrate se formează pe o tablă de şah obişnuită, de 8^2 pătrăţele?

Soluţie:

Pentru fixarea ideilor, să numerotăm coloanele unei table de şah, de la stânga la dreapta, cu numerele: 1,2,3,4,5,6,7,8 iar liniile să le notăm, de sus în jos, cu literele: a,b,c,d,e,f,g,h.
Un pătrat care se formează pe tabla de şah este complet determinat dacă i se precizează, de pildă, poziţia vârfului din stânga sus şi lungimea laturii, iar un dreptunghi — dacă i se precizează poziţia vârfului din stânga sus şi lungimile laturilor.
Cu vârful din stânga sus în punctul (a,1) există 8 pătrate/dreptunghiuri cu una din laturi de 1 pătrăţel şi cealaltă latură de 1,2,3,4,5,6,7, respectiv 8 pătrăţele. Cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 2 pătrăţele există tot 8 pătrate/dreptunghiuri; cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 3 pătrăţele există de asemenea 8 pătrate/dreptunghiuri; ... şi aşa mai departe până la lungimea unei laturi de 8 pătrăţele. În total, cu vârful din stânga sus în punctul (a,1) există 8 cdot 8 pătrate/dreptunghiuri.
Trecând la linia b, există 8 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (b,1) şi una din laturi de 1 pătrăţel; cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 2 pătrăţele, există de asemenea 8 pătrate/dreptunghiuri; ... şi aşa mai departe până la lungimea uneia din laturi de 7 pătrăţele. În total, există 8 cdot 7 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (b,1).
În mod asemănător, pentru linia c, există 8 cdot 6 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (c,1); ... şi aşa mai departe până la linia h pentru care există 8 cdot 1 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (h,1).
În total, există:
8 cdot 8+8 cdot 7+...+8 cdot 1=8(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe prima coloană.
Analog, pentru coloana a doua există:
7 cdot 8+7 cdot 7+...+7 cdot 1=7(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană;
pentru coloana a treia există:
6 cdot 8+6 cdot 7+...+6 cdot 1=6(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană;
.
.
.
pentru coloana a opta există:
1 cdot 8+1 cdot 7+...+1 cdot 1=1(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană.
Prin urmare, pe o tablă de şah obişnuită de 8^2 pătrăţele se formează:
8(8+7+...+1)+7(8+7+...+1)+6(8+7+...+1)+...+1(8+7+...+1)=
=(8+7+...+1)(8+7+...+1)={(8+7+...+1)}^2=
={({8 cdot 9}/2)}^2=36^2=1296 pătrate şi dreptunghiuri.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: