Cel puţin o dată cifra 7

Câte numere de cinci cifre conţin cel puţin o dată cifra 7?

Citește mai departe: Cel puţin o dată cifra 7

Cifre pentru paginare

Pentru a numerota paginile unui volum, un tipograf a avut nevoie de 2989 de cifre. Puteţi spune câte pagini a avut în total acest volum?

Citește mai departe: Cifre pentru paginare

Pătrate şi dreptunghiuri

Câte dreptunghiuri şi pătrate se formează pe o tablă de şah obişnuită, de 8^2 pătrăţele?

Soluţie:

Pentru fixarea ideilor, să numerotăm coloanele unei table de şah, de la stânga la dreapta, cu numerele: 1,2,3,4,5,6,7,8 iar liniile să le notăm, de sus în jos, cu literele: a,b,c,d,e,f,g,h.
Un pătrat care se formează pe tabla de şah este complet determinat dacă i se precizează, de pildă, poziţia vârfului din stânga sus şi lungimea laturii, iar un dreptunghi — dacă i se precizează poziţia vârfului din stânga sus şi lungimile laturilor.
Cu vârful din stânga sus în punctul (a,1) există 8 pătrate/dreptunghiuri cu una din laturi de 1 pătrăţel şi cealaltă latură de 1,2,3,4,5,6,7, respectiv 8 pătrăţele. Cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 2 pătrăţele există tot 8 pătrate/dreptunghiuri; cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 3 pătrăţele există de asemenea 8 pătrate/dreptunghiuri; ... şi aşa mai departe până la lungimea unei laturi de 8 pătrăţele. În total, cu vârful din stânga sus în punctul (a,1) există 8 cdot 8 pătrate/dreptunghiuri.
Trecând la linia b, există 8 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (b,1) şi una din laturi de 1 pătrăţel; cu vârful în acelaşi punct şi una din laturi de 2 pătrăţele, există de asemenea 8 pătrate/dreptunghiuri; ... şi aşa mai departe până la lungimea uneia din laturi de 7 pătrăţele. În total, există 8 cdot 7 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (b,1).
În mod asemănător, pentru linia c, există 8 cdot 6 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (c,1); ... şi aşa mai departe până la linia h pentru care există 8 cdot 1 pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus în punctul (h,1).
În total, există:
8 cdot 8+8 cdot 7+...+8 cdot 1=8(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe prima coloană.
Analog, pentru coloana a doua există:
7 cdot 8+7 cdot 7+...+7 cdot 1=7(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană;
pentru coloana a treia există:
6 cdot 8+6 cdot 7+...+6 cdot 1=6(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană;
.
.
.
pentru coloana a opta există:
1 cdot 8+1 cdot 7+...+1 cdot 1=1(8+7+...+1)
pătrate/dreptunghiuri cu vârful din stânga sus pe această coloană.
Prin urmare, pe o tablă de şah obişnuită de 8^2 pătrăţele se formează:
8(8+7+...+1)+7(8+7+...+1)+6(8+7+...+1)+...+1(8+7+...+1)=
=(8+7+...+1)(8+7+...+1)={(8+7+...+1)}^2=
={({8 cdot 9}/2)}^2=36^2=1296 pătrate şi dreptunghiuri.

Şah şi domino

O suprafaţă pătrată este împărţită într-un număr par de pătrăţele. Dacă pătrăţelele din două colţuri opuse ale pătratului sunt decupate, în ce mod poate fi acoperită suprafaţa rămasă cu piese de domino dreptunghiulare, având lăţimea egală cu latura unui pătrăţel şi lungimea de două ori mai mare?

Citește mai departe: Şah şi domino

Câte pătrate?

Câte pătrate se formează pe o tablă de şah obişnuită, de
8^2
pătrăţele?

8                
7                
6                
5                
4                
3                
2                
1                
  a b c d e f g h

Citește mai departe: Câte pătrate?

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: