Gările

Detalii: Scris de Cristina Vuşcan Cristina Vuşcan; Categorie: Probleme de numărare şi distribuire Probleme de numărare şi distribuire; Publicat: 01 Iulie 2013 01 Iulie 2013; Accesări: 1868 1868

Într-un stat mic, cum ar fi Luxemburgul de pildă, fiecare gară vinde atâtea bilete diferite câte alte gări mai sunt. Pe de altă parte, biletul dinspre gara A spre gara B este diferit de cel dinspre gara B spre gara A. Între timp, o nouă linie de cale ferată, deservind şi câteva gări noi, a fost gata pentru a fi dată în folosinţă. În ziua inaugurării, 34 de noi bilete diferite au fost puse în vânzare. Câte gări erau înainte de construirea noii linii de cale ferată?

Soluţie:

Să notăm cu p numărul gărilor existente înainte de construirea noii linii de cale ferată şi cu q numărul gărilor noi.
Fiecărei gări noi îi corespund:
- p bilete dinspre această gară spre gările vechi;
- p bilete dinspre gările vechi spre această gară;
- q-1 bilete dinspre această gară spre celelalte gări noi;
- q-1 bilete dinspre celelalte gări noi spre această gară.
Cum sunt q gări noi, numărul total al noilor bilete diferite vândute în ziua inaugurării este egal cu
q(2p+q-1) .
Prin urmare,
q(2p+q-1)=34 .
Cu alte cuvinte, numărul q este un divizor al lui 34, adică este 1, 2, 17 sau 34.
q nu poate fi 1, deoarece s-au înfiinţat ”câteva” gări noi, adică mai mult decât una.
Dacă q ar fi 2, atunci
2(2p+2-1)=34 delim{|}{:}{}2 doubleleftright
2p+1=17 doubleleftright
2p=16 doubleleftright
p=8 .
În concluzie, cazul este acceptabil.
Dacă q ar fi 17, atunci
17(2p+17-1)=34 delim{|}{:}{}17 doubleleftright
2p+16=2 ,
egalitate care nu se verifică pentru nici o valoare naturală a numărului p.
Aşadar, cazul acesta este inacceptabil.
Dacă q ar fi 34, atunci
34(2p+34-1)=34 delim{|}{:}{}34 doubleleftright
2p+33=1 ,
egalitate care nu se verifică pentru nici o valoare naturală a numărului p.
Prin urmare, nici acest caz nu este acceptabil.
Singurul caz posibil este cel în care q este 2, iar p 8.
Deci, numărul gărilor existente înainte de construirea noii linii de cale ferată este 8.