Tipărire

O bază de cercetare experimentală pentru obținerea hribilor de cultură a fost amenajată pe un teren de formă triunghiulară (triunghiul ABC din figura de mai jos.)
3 laboratoare au fost amenajate pe fiecare latură la un sfert din lungimea laturii față de unul din vârfuri (punctele D, E, respectiv F de pe desen):

Punctele P, Q, respectiv R de intersecție a dreptelor CF cu AD, AD cu BE și respectiv BE cu CF sunt vârfurile suprafeței propriu-zise de cultură, de formă triunghiulară.
A câta parte din suprafața bazei de cercetare (suprafața triunghiului ABC) o reprezintă suprafața de cultură propriu-zisă (suprafața triunghiului PQR)?

desen

Soluție:

Soluția problemei se bazează pe următoarea proprietate simplă: dacă un punct împarte o latură a unui triunghi în raportul 1/k, atunci și raportul dintre aria triunghiului cu baza corespunzătoare și aria triunghiului inițial este de asemenea 1/k. Mai precis, dacă D este un punct pe latura BC a triunghiului ABC astfel încât
 {BD}/{BC}=1/k ,
atunci
 {S_{ABD}}/{S_{ABC}}=1/k .
(Și, întrucât cele două triunghiuri au aceeași înălțime, demonstrația este evidentă.)
Pornind de la această proprietate, este evident că ariile triunghiurilor ABD, BEC și ACF reprezintă un sfert din aria triunghiului ABC.
Tot pe baza acestei proprietăți, aria triunghiului BED este un sfert din aria triunghiului BEC și deci 1/16 din aria triunghiului ABC.
Vom arăta mai jos că punctul Q împarte segmentul BE în raportul 4/13, adică
 {BQ}/{BE}=4/{13}
și vom deduce astfel că aria triunghiului BDQ este 4/13 din aria triunghiului BDE sau 1/52 din aria triunghiului ABC.
Dacă notăm cu S aria triunghiului ABC, atunci aria triunghiului PQR se va calcula astfel:
 S_{PQR} =S_{ABC} -(S_{BEC} +S_{CAF} +S_{ABD})+(S_{BDQ} +S_{CER} +S_{AFP})=
 S-(1/4 S+1/4 S+1/4 S)+(1/{52} S+1/{52} S+1/{52} S)=
 S- 3/4 S+3/{52} S=1/4 S+3/{52} S={16}/{52} S=4/{13} S.
Să calculăm acum raportul BQ/BE.
Vom aplica teorema lui Menelaus pentru triunghiul BEC și transversala DQA:
 {DB}/{DC} cdot {AC}/{AE} cdot {QE}/{QB}=1 doubleleftright
 1/3 cdot 4/3 cdot {QE}/{QB} =1 doubleleftright
 {QE}/{QB} =9/4 doubleleftright
 {QB}/{QE} =4/9 doubleleftright
 {QB}/{QB+QE} =4/{4+9} doubleleftright
 {QB}/{BE} =4/{13} .
Așadar, suprafața de cultură propriu-zisă reprezintă 4/13 din suprafața totală a bazei.