Tipărire

O lupă rotundă are două brațe fixate fiecare în câte un punct astfel încât să formeze un soi de mâner (tangentele în C și D la cercul din figura de mai jos.)
Dacă AB este diametrul orizontal al lupei, să se arate că punctul M de îmbinare a celor două brațe (punctul de intersecție a tangentelor în C și D la cerc) se află pe perpendiculara din punctul de intersecție a lui AC cu BD pe diametrul AB.

un cerc de diametru AB și C și D două puncte pe semicercul superior cu tangentele în C și D la cerc care se intersectează în M

Soluție:

același desen ca la cerință în care dreptele AC și BD se taie în L dreptele BC și AD în H dreapta LH taie pe AB în E iar tangenta în C la cerc intersectează pe LE în M’

Fie L intersecția lui AC cu BD. Unghiurile C și D, ca unghiuri cu vârful pe cerc care cuprind între laturile lor diametrul cercului, sunt unghiuri de 90 de grade, astfel că în triunghiul ALB, BC și AD sunt înălțimi.
Să notăm cu H intersecția înălțimilor BC și AD. Evident, LH va fi înălțime în triunghiul ALB; să notăm cu E piciorul acestei înălțimi pe AB.
Să presupunem acum că tangenta în C la cerc taie dreapta LE în punctul M’. Vom arăta că M’ este mijlocul segmentului LH.
Într-adevăr, unghiul M’LC este congruent cu unghiul ABC ca unghiuri formate de două laturi opuse cu câte o diagonală în patrulaterul inscriptibil CLBE.
Dar unghiul M’CL este și el congruent cu unghiul ABC, complementare fiind cu unghiurile congruente M’CB și respectiv BAC.
Unghiurile M’LC și M’CL fiind congruente, triunghiul M’LC este isoscel și deci M’L=M’C.
Analog, triunghiul M’CH este isoscel, unghiurile M’CH și M’HC fiind ambele congruente cu unghiul  BAC. Astfel, M’C=M’H.
Prin urmare, M’L=M’H, adică M’ este mijlocul segmentului LH.
În mod asemănător, se va arăta că tangenta în punctul D la cerc trece prin mijlocul segmentului LH, astfel încât demonstrația faptului că tangentele în C și D la cerc se intersectează pe perpendiculara din punctul de intersecție a lui AC cu BD pe diametrul AB al cercului este încheiată.