Tipărire

Din sania lui mare, plină vârf cu pachete și cadouri, Moș Crăciun a descărcat la locul de joacă al copiilor o mulțime de cuburi colorate, pe care spiridușii le-au stivuit într-un paralelipiped dreptunghic cu lungimea bazei de 10 cuburi, lățimea bazei de 9 cuburi și înălțimea de 5 cuburi.
Moș Crăciun le-a cerut apoi copiilor să facă din cuburi două piramide cu baza pătrată și laturile bazelor egale, astfel încât în prima piramidă, pornind de la vârf, laturile pătratelor să crească cu câte 1 cub la fiecare nivel, iar în a doua cu câte 2 cuburi la fiecare nivel.
A. Ce înălțime are fiecare piramidă?
B. Câte cuburi are latura bazei fiecărei piramide?
C. Câte cuburi conține fiecare piramidă?
(propusă de prof. Cornelia Moarcaș)

Soluție:

Pornind de la vârful celei de a doua piramide, primul nivel este un pătrat cu latura de 1 (2x1-1) cub, al doilea nivel un pătrat cu latura de 3 (2x2-1) cuburi, al treilea nivel un pătrat cu latura de 5 (2x3-1) cuburi, ..., al k-lea nivel un pătrat cu latura de (2k-1) cuburi. Așadar, a doua piramidă are latura bazei de (2k-1) cuburi și înălțimea de k cuburi.
Prima piramidă are atunci latura bazei tot de (2k-1) cuburi și, întrucât laturile cresc cu câte un cub pe fiecare nivel, înălțimea primei piramide este egală tot cu (2k-1).
Numărul cuburilor care alcătuiesc prima piramidă este egal cu
1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2={(2k-1)2k[2(2k-1)+1]}/6={k(2k-1)(4k-1)}/3
Diferența dintre a doua și prima piramidă este aceea că în a doua straturile cu număr par de cuburi pe fiecare latură lipsesc. Astfel că, în a doua piramidă, numărul total de cuburi este
[1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2]-[2^2+4^2+6^2+...+{(2k-2)}^2]
Atunci, numărul total al cuburilor din cele 2 piramide este egal cu
[1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2]+lbrace[1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2]-[2^2+4^2+6^2+...+{(2k-2)}^2]rbrace=
2[1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2]-2^2 [1^2+2^2+3^2+...+{(k-1)}^2]=
{2k(2k-1)(4k-1)}/3-4[1^2+2^2+3^2+...+{(k-1)}^2]=
{2k(2k-1)(4k-1)}/3-4 {(k-1)k[2(k-1)+1]}/6=
{2k(2k-1)(4k-1)}/3-{2k(k-1)(2k-1)}/3=
{2k(2k-1)}/3 [(4k-1)-(k-1)]=
{2k(2k-1)}/3 (4k-1-k+1)=2k^2 (2k-1)
Dar numărul total al cuburilor descărcate de Moș Crăciun la Mall este egal cu
10*9*5=450
Egalând numărul total de cuburi, obținem ecuația
2k^2 (2k-1)=450 doubleleftright
2k^2 (2k-1)=2*225 doubleleftright
k^2 (2k-1)=225=3^2 *5^2
Din cele 3 cazuri posibile:
1. k=1, 2k-1=225;
2. k=3, 2k-1=25;
3. k=5, 2k-1=9;
4. k=225, 2k-1=1,
doar cazul 3 este admisibil.
Așadar, k=5.
A. Înălțimea celei de a doua piramide este atunci egală cu 5 cuburi, iar a celei dintâi cu
2k-1=2*5-1=9
cuburi.
B. Latura bazei fiecărei piramide este egală cu
2k-1=2*5-1=9
cuburi.
C. Numărul total al cuburilor din prima piramidă este egal cu
[1^2+2^2+3^2+4^2+...+{(2k-1)}^2={k(2k-1)(4k-1)}/3=
{5*(2 cdot 5-1)*(4 cdot 5-1)}/3={5*9*19}/3=15*19=285
de cuburi.
Iar numărul total al cuburilor din a doua piramidă este atunci egal cu
450-285=165.