Un castel medieval cu baza pătrată, ridicat pe o insulă pătrată, înconjurată de un șanț cu apă, de formă pătrată și având lățimea de 10 m, se află sub asediu de mai multe luni. Dintr-o nefericită eroare de calcul, asediatorii au adus cu ei punți a căror lungime este de doar 9,5 m. Din lipsă de resurse, invadatorii nu-și pot întrerupe campania, lăsând necucerit un puternic centru economic și un punct de aprovizionare important, pentru a se întoarce acasă cu mâinile goale.
Cum au reușit asediatorii să iasă din impas și să treacă șanțul?

Soluție:

Asediatorii au așezat câte o punte peste un colț al șanțului, astfel încât să se formeze un triunghi dreptunghic isoscel (triunghiul ABC din figura de mai jos) și apoi au fixat de mijlocul acestei punți (punctul O) o altă punte care să se sprijine cu celălalt capăt pe țărmul insulei (punctul D).

două pătrate concentrice apoi triunghiul isoscel ABC în colțul din stânga sus cu cateta de 6,7 metri iar D colțul din stânga sus al pătratului interior cu lățimea DE a șanțului de 10 metri

Calculul va arăta în continuare că, procedând astfel, lungimea de 9,5 m a punților este suficientă pentru a traversa șanțul.
În fiecare colț al șanțului se formează un pătrat cu latura de 10 m, a cărui diagonală de
10 sqrt{2}~m
unește colțul șanțului cu colțul insulei pe care este înălțat castelul.
Așezând puntea peste colțul șanțului astfel încât să se formeze un triunghi dreptunghic isoscel cu latura de 6,7 m (triunghiul ABC), ipotenuza BC a acestuia de
6,7 sqrt{2}~m
este mai scurtă decât lungimea punții, ceea ce permite așezarea punții de-a lungul ei:
{(6,7 sqrt{2})}^2 =89,78 < 90,25={(9,5)}^2 .
Mai rămâne să arătăm că distanța OD de la mijlocul primei punți până la colțul insulei pe care se înalță castelul este mai mică decât lungimea unei punți, ceea ce ar permite sprijinirea celei de-a doua punți de colțul insulei.
Într-adevăr, din triunghiul dreptunghic DEC, rezultă că
{DC}^2 ={DE}^2 +{EC}^2 ={10}^2 +{3,3}^2 =100+10,89=110,89
iar din triunghiul dreptunghic DOC, că
{OD}^2 ={DC}^2 - {OC}^2 =110,89- {(3,35 sqrt{2})}^2 =110,89-22,445=88,445.
Și astfel
{OD}^2 =88,445 < 90,25={(9,5)}^2 ,
ceea ce arată că distanța OD de la mijlocul primei punți până la colțul insulei este mai mică decât lungimea unei punți.
Prin urmare, folosind doar punți cu lungimea de 9,5 m, asediatorii au reușit să treacă șanțul care îi separa de insula pe care se găsea castelul.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: