Se dau 12 monede şi o balanţă fără greutăţi.
Una dintre monede este falsă adică este sau mai grea sau mai uşoară decât celelalte.

Din 3 cântăriri să se determine care este moneda falsă şi să se precizeze dacă ea este mai grea sau mai uşoară decât restul.

Soluţie:

Se împart cele 12 monede în trei grupe de câte 4 monede. La prima cântărire, se aşază câte o grupă pe fiecare taler al balanţei. (Prima cântărire)
1. Dacă balanţa rămâne în echilibru, grupa neaşezată pe balanţă conţine moneda falsă. Se iau trei monede din această grupă şi se pun pe un taler al balanţei în vreme ce pe celălalt se aşază trei monede din cele 8 originale rezultate după prima cântărire. (A doua cântărire)
1.1. Dacă balanţa rămâne în echilibru, moneda rămasă este cea falsă. Pentru a determina dacă este mai grea sau mai uşoară decât o monedă originală, se aşază această monedă pe un taler al balanţei iar pe celălalt taler se aşază o monedă originală. (A treia cântărire)
1.1.1. Dacă talerul cu moneda falsă se ridică, aceasta este mai uşoară.
1.1.2. Dacă talerul coboară, moneda falsă este mai grea.
1.2. Dacă balanţa se dezechilibrează la a doua cântărire, cele trei monede din grupa de 4 neaşezate pe balanţă conţin moneda falsă. Mai mult, dacă talerul pe care se află aceste trei monede este ridicat, moneda falsă este mai uşoară iar dacă este coborât, moneda falsă este mai grea. Se iau două monede din această grupă şi se aşază câte una pe fiecare taler al balanţei. (A treia cântărire)
1.2.1. Dacă balanţa se echilibrează, a treia monedă este falsă şi se ştie de la a doua cântărire dacă este mai grea sau mai uşoară decât o monedă originală.
1.2.2. Dacă balanţa se dezechilibrează, moneda falsă este cea a cărei greutate corespunde cu cea stabilită pentru o monedă falsă după cea de-a doua cântărire.
2. Dacă balanţa se dezechilibrează la prima cântărire, una din cele două grupe conţine moneda falsă. Pentru o mai uşoară exprimare, vom nota cu G monedele din grupa mai grea, cu U monedele din grupa mai uşoară şi cu O monedele originale din grupa neaşezată pe balanţă. La a doua cântărire, pe un taler al balanţei se pun două monede G şi una U iar pe celălalt taler o monedă G, una O şi una U.
2.1. Dacă balanţa se echilibrează, grupa de trei monede — două U şi una G — rămase neaşezate pe balanţă la a doua cântărire, conţine moneda falsă. La a treia cântărire, se compară monedele U din această grupă.
2.1.1. Dacă balanța se echilibrează, atunci moneda falsă este moneda G și ea este mai grea decât o monedă originală.
2.1.2. Dacă balanța se dezechilibrează, atunci moneda G rămasă este originală iar moneda mai ușoară dintre cele două monede U este moneda falsă.
2.2. Dacă la a doua cântărire, balanţa se dezechilibrează şi monedele G, G, U sunt mai grele, atunci moneda falsă poate fi printre aceste monede sau printre monedele G, O, U de pe celălalt taler. Dacă moneda falsă este printre monedele G, G, U atunci ea nu poate fi decât o monedă mai grea, adică una G iar dacă se află printre monedele G, O, U ea este mai uşoară şi, prin urmare, este moneda U. La a treia cântărire, se iau cele două monede G din grupa G, G, U şi se aşază câte una pe fiecare taler al balanţei.
2.2.1. Dacă balanţa rămâne în echilibru, moneda falsă este în grupa G, O, U şi prin urmare este moneda U, mai uşoară decât moneda originală.
2.2.2. Dacă balanţa se dezechilibrează, cea mai grea dintre cele două monede G este moneda falsă.
2.3. Dacă la a doua cântărire, balanţa se dezechilibrează şi monedele G, O, U sunt mai grele atunci moneda falsă poate fi printre aceste monede sau printre monedele G, G, u de pe celălalt taler. Dacă moneda falsă este printre monedele G, O, U atunci ea nu poate fi decât o monedă mai grea, adică moneda G iar dacă se află printre monedele G, G, U ea este mai uşoară şi, prin urmare, este moneda U. La a treia cântărire, se compară monedele U din grupele G, O, U şi G, G, U.
2.3.1. Dacă balanţa se echilibrează, cele două monede U sunt originale și prin urmare moneda falsă este moneda G din grupa G, O, U.
2.3.2. Dacă balanţa se dezechilibrează, moneda falsă este moneda U din grupa G, G, U și ea este mai ușoară decât o monedă originală.

Susține Logicus.ro!

Dacă îți plac problemele de logică de pe www.logicus.ro și vrei să contribui și tu la eforturile noastre, ai acum ocazia de a ne susține!

Cu cât vrei să contribui?: